Deskriptive Statistik, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Zufallsvariablen & Verteilungsmodelle

2.1 Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zu — z. B. die Augensumme zweier Würfel statt das konkrete Zahlenpaar.

2.2 Diskrete Zufallsvariablen

X heißt diskret, wenn sie höchstens abzählbar viele Werte annehmen kann.

2.3 Stetige Zufallsvariablen

X heißt stetig, wenn sie jeden Wert in einem Intervall theoretisch annehmen kann.

Wichtig: bei stetigen Zufallsvariablen ist P(X=x) für jeden einzelnen Wert x immer exakt 0. Sinnvoll interpretierbar sind nur Wahrscheinlichkeiten für Intervalle.

2.4 Verteilungsfunktion F(x)

Die Verteilungsfunktion F(x) = P(X≤x) existiert für beide Typen und ist immer monoton wachsend von 0 nach 1.

Bei diskreten Zufallsvariablen ist sie eine Treppenfunktion, bei stetigen eine glatte Kurve — die Ableitung von F ist genau die Dichte f.

2.5 Erwartungswert

Der Erwartungswert E(X) ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel aller möglichen Werte — das theoretische Gegenstück zum arithmetischen Mittel.

Bei diskreten Zufallsvariablen wird summiert, bei stetigen integriert. Dieses Muster zieht sich durch das ganze Kapitel: Σ wird zu ∫.

2.6 Varianz von Zufallsvariablen

Die Verschiebungsformel Var(X) = E(X²) − (E(X))² ist in der Praxis fast immer einfacher als die direkte Definition.

2.7 Lineare Transformation

Für Y = aX + b transformiert sich der Erwartungswert genauso wie X selbst. Die Varianz reagiert dagegen nur auf den Faktor a, und zwar quadriert — eine Verschiebung um b ändert an der Streuung nichts.

2.8 Tschebyscheff-Ungleichung

Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert eine verteilungsunabhängige obere Schranke dafür, wie wahrscheinlich große Abweichungen vom Erwartungswert sind — funktioniert für jede Zufallsvariable mit endlicher Varianz, ist dafür aber meist grob.

2.9 Schiefe und Kurtosis

Erwartungswert und Varianz beschreiben Lage und Streuung, aber nichts über die Form der Verteilung.

2.10 Bivariate Zufallsvariablen

Bei zwei Zufallsvariablen X und Y beschreibt die gemeinsame Verteilung, wie wahrscheinlich bestimmte Kombinationen von Werten sind.

X und Y heißen unabhängig, wenn die gemeinsame Verteilung in das Produkt der Randverteilungen zerfällt. Für unabhängige Variablen addieren sich die Varianzen bei einer Summe.

3.1 Diskrete Gleichverteilung und Bernoulli

Die diskrete Gleichverteilung modelliert endlich viele, gleichwahrscheinliche Ausprägungen, z. B. einen fairen Würfel.

3.2 Binomialverteilung

Die Binomialverteilung B(n,p) zählt die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit jeweils gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Wichtig: unabhängig und gleiches p müssen wirklich erfüllt sein — sonst ist B(n,p) das falsche Modell.

3.3 Hypergeometrische Verteilung

Modelliert das Ziehen ohne Zurücklegen aus einer endlichen Grundgesamtheit mit zwei Gruppen — hier ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit von Ziehung zu Ziehung.

3.4 Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener Ereignisse in einem festen Zeit- oder Raumintervall und ergibt sich als Grenzwert der Binomialverteilung für großes n und kleines p bei konstantem λ=np.

3.5 Stetige Gleichverteilung und Exponentialverteilung

Die stetige Gleichverteilung modelliert Situationen ohne bevorzugten Bereich innerhalb eines Intervalls.

Die Exponentialverteilung modelliert Wartezeiten zwischen zufälligen Ereignissen und ist eng mit der Poisson-Verteilung verwandt: Poisson zählt, wie viele Ereignisse passieren, Exponential beschreibt, wie lange man bis zum nächsten wartet.

3.6 Normalverteilung

Die Normalverteilung N(μ,σ²) ist die zentrale Verteilung der Statistik: glockenförmig und symmetrisch um μ.

Jede Normalverteilung lässt sich durch Standardisierung auf die Standardnormalverteilung zurückführen — deshalb reicht eine Tabelle aus, um Wahrscheinlichkeiten für jede beliebige Normalverteilung zu berechnen.

3.7 Zentraler Grenzwertsatz

Erklärt, warum die Normalverteilung in der Praxis so allgegenwärtig ist: Die Summe bzw. der Mittelwert vieler unabhängiger Zufallsvariablen ist näherungsweise normalverteilt — unabhängig davon, welcher Verteilung die einzelnen Summanden selbst folgen.

3.8 Approximationen zwischen Verteilungen

Manche Verteilungen sind rechnerisch aufwendig, lassen sich aber unter bestimmten Bedingungen gut annähern.

Merkregel: Normalapproximation für großes n und p nicht extrem. Poisson-Approximation für großes n, aber sehr kleines p.

4.1 Grundgesamtheit und Stichprobe

Bevor überhaupt gerechnet wird, muss klar sein, wer oder was untersucht wird und woher die Daten kommen.

In der Praxis wird fast nie die komplette Grundgesamtheit erhoben, sondern nur eine Stichprobe. Aus dieser Teilmenge schließt man dann auf die Grundgesamtheit zurück — genau das ist später der Kern der schließenden Statistik in Statistik II.

4.2 Skalenniveaus

Merkmale werden nach ihrem Skalenniveau unterschieden, weil das Skalenniveau bestimmt, welche Rechenoperationen überhaupt sinnvoll sind.

4.3 Weitere Unterscheidungen

Metrische Merkmale werden außerdem in diskret und stetig unterteilt, und es gibt noch ein paar weitere Unterscheidungen, die in der Klausur gerne abgefragt werden.

4.4 Häufigkeiten

Für ein Merkmal mit Ausprägungen a1 bis ak zählt man zunächst, wie oft jede Ausprägung vorkommt.

4.5 Empirische Verteilungsfunktion

Die kumulierte relative Häufigkeit gibt an, welcher Anteil der Beobachtungen kleiner oder gleich einem Wert x ist.

Sie ist eine monoton wachsende Treppenfunktion, die bei 0 beginnt und bei 1 endet, mit Sprüngen genau an den Stellen, an denen Beobachtungen liegen. Wichtig: F(x) ist nicht dasselbe wie f(x) — f(ai) ist die Häufigkeit genau der Ausprägung ai, F(x) ist die Summe aller f(ai) mit ai ≤ x.

4.6 Modus und Median

Lageparameter fassen einen Datensatz in einer Zahl zusammen, die zeigt, wo die Daten typischerweise liegen. Welches Lagemaß sinnvoll ist, hängt vom Skalenniveau ab.

4.7 Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist nur für metrische Merkmale sinnvoll und reagiert empfindlich auf Ausreißer.

Genau deshalb wird bei Einkommensstatistiken oft der Median statt des Mittelwerts berichtet: wenige sehr hohe Einkommen würden den Mittelwert nach oben verzerren.

4.8 Quantile

p-Quantile verallgemeinern den Median: das p-Quantil xp lässt einen Anteil p der Daten darunter und (1−p) darüber liegen.

4.9 Spannweite und Interquartilsabstand

Ein Lagemaß allein sagt nichts darüber aus, wie breit gestreut die Daten liegen. Streuungsmaße schließen diese Lücke.

Die Spannweite ist einfach, aber sehr ausreißeranfällig. Der Interquartilsabstand ist deutlich robuster, weil er nur die mittleren 50 Prozent der Daten betrachtet.

4.10 Varianz und Standardabweichung

Die Varianz misst die mittlere quadrierte Abweichung vom Mittelwert. Quadriert wird, damit sich positive und negative Abweichungen nicht gegenseitig aufheben.

Der Nachteil der Varianz: Sie hat eine ungewohnte Einheit, z. B. Euro-Quadrat statt Euro. Deshalb gibt man in der Praxis meist die Standardabweichung an, die wieder dieselbe Einheit wie die Ausgangsdaten hat.

4.11 Histogramm und Boxplot in der Grafik

Ein Histogramm zeigt die Häufigkeitsdichte klassierter metrischer Daten. Zu breite Klassen verwischen Strukturen, zu schmale erzeugen ein verrauschtes Bild.

Der Boxplot stellt fünf Kennzahlen gleichzeitig dar und macht auf einen Blick sichtbar, ob eine Verteilung schief ist. Boxplots sind besonders stark beim Vergleich mehrerer Gruppen nebeneinander.

4.12 Lorenzkurve und Gini-Koeffizient

Die Lorenzkurve zeigt, welcher kumulierte Anteil einer Größe (z. B. Einkommen) auf den kumulierten Anteil der sortierten Einheiten entfällt.

Bei perfekter Gleichverteilung liegt die Kurve auf der Diagonalen. Je stärker sie darunter durchhängt, desto ungleicher ist die Verteilung.

4.13 Zusammenhangsmaße

Bisher ging es um ein Merkmal — Zusammenhangsmaße untersuchen, wie zwei Merkmale gemeinsam variieren. Auch hier bestimmt das Skalenniveau, welches Maß zulässig ist.

Wichtig: Cov(x,y) = 0 folgt aus Unabhängigkeit, aber nicht umgekehrt. Der Korrelationskoeffizient r misst außerdem nur lineare Zusammenhänge — bei einem nicht-linearen (z. B. U-förmigen) Zusammenhang kann r trotzdem nahe 0 liegen.