Aussagenlogik, Mengenlehre, Relationen, Abbildungen, Folgen, Reihen & Potenzreihen — Stoff der Semesterklausur (1. Prüfungsteil)

2.1 Mengen und Elementbeziehung

Eine Menge ist eine wohldefinierte Zusammenfassung unterscheidbarer Objekte (Elemente) zu einem Ganzen. Mengen lassen sich durch Aufzählen ihrer Elemente ({1,2,3}) oder durch eine definierende Eigenschaft ({x | x ist gerade}) angeben. Die leere Menge ∅ enthält kein Element und ist Teilmenge jeder Menge.

Eine Menge A heißt Teilmenge von B (A⊆B), wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Gilt zusätzlich A≠B, spricht man von einer echten Teilmenge (A⊊B).

2.2 Mengenoperationen

Vereinigung A∪B enthält alle Elemente, die in A oder B (oder beiden) liegen. Durchschnitt A∩B enthält nur Elemente, die in beiden Mengen liegen. Differenz A\B enthält alle Elemente von A, die nicht in B liegen. Ist eine Grundmenge Ω festgelegt, bezeichnet das Komplement Aᶜ = Ω\A alle Elemente von Ω außerhalb von A.

Für diese Operationen gelten Distributivgesetze A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) sowie die De Morganschen Regeln für Mengen: (A∪B)ᶜ = Aᶜ∩Bᶜ und (A∩B)ᶜ = Aᶜ∪Bᶜ.

2.3 Potenzmenge und kartesisches Produkt

Die Potenzmenge P(A) einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A (einschließlich ∅ und A selbst). Hat A genau n Elemente, besitzt P(A) genau 2ⁿ Elemente, da jedes Element unabhängig entweder in einer Teilmenge enthalten sein kann oder nicht.

Das kartesische Produkt A×B besteht aus allen geordneten Paaren (a,b) mit a∈A und b∈B. Anders als bei Mengen kommt es bei geordneten Paaren auf die Reihenfolge an: (a,b) ist im Allgemeinen verschieden von (b,a).

3.1 Gruppen

Eine Gruppe (G,∗) ist eine Menge G mit einer Verknüpfung ∗, die abgeschlossen ist (a∗b∈G für alle a,b∈G), assoziativ ist ((a∗b)∗c = a∗(b∗c)), ein neutrales Element e besitzt (a∗e = e∗a = a) und zu jedem Element ein inverses Element hat (a∗a⁻¹ = e). Ist zusätzlich a∗b = b∗a für alle a,b, heißt die Gruppe abelsch (kommutativ).

Gruppen abstrahieren das gemeinsame Strukturmuster, das man in vielen konkreten Rechensystemen wiederfindet — von den ganzen Zahlen mit Addition bis zu Symmetriegruppen geometrischer Figuren.

Aus den Gruppenaxiomen folgt die Kürzungsregel: Ist a∗b = a∗c, so folgt bereits b=c (durch Verknüpfen von links mit dem Inversen a⁻¹) — und analog für Kürzung von rechts. Diese Regel ist das zentrale Werkzeug, um in einer abstrakt gegebenen Gruppe unbekannte Verknüpfungsergebnisse zu erschließen, ohne die Gruppe vollständig kennen zu müssen.

3.2 Ringe und Körper

Ein Ring (R,+,·) besitzt zwei Verknüpfungen: (R,+) ist eine abelsche Gruppe, · ist assoziativ, und es gelten die Distributivgesetze a·(b+c) = a·b+a·c. Ein Körper ist ein Ring, bei dem zusätzlich (R\{0},·) eine abelsche Gruppe ist — jedes Element außer dem additiven neutralen Element 0 besitzt also ein multiplikatives Inverses.

Körper sind die algebraische Struktur, in der uneingeschränkt addiert, subtrahiert, multipliziert und (außer durch 0) dividiert werden kann — genau die Rechenregeln, die wir von ℚ und ℝ gewohnt sind.

4.1 Permutationen

Die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Objekte in einer Reihenfolge anzuordnen (Permutationen), beträgt n! = n·(n−1)·...·1. Sind unter den n Objekten Gruppen von jeweils untereinander nicht unterscheidbaren Objekten (Größen n₁,...,nₖ), reduziert sich die Anzahl unterscheidbarer Anordnungen auf n!/(n₁!·...·nₖ!).

Diese Reduktion entsteht, weil Vertauschungen innerhalb einer Gruppe ununterscheidbarer Objekte keine neue Anordnung erzeugen — sie werden durch die Division herausgerechnet.

4.2 Variationen und Kombinationen

Bei der Auswahl von k aus n unterscheidbaren Objekten unterscheidet man vier Fälle, je nachdem ob die Reihenfolge der Auswahl zählt und ob Objekte wiederholt (mit Zurücklegen) ausgewählt werden dürfen: Variation mit Wiederholung (Reihenfolge zählt, Wiederholung erlaubt: nᵏ), Variation ohne Wiederholung (Reihenfolge zählt, keine Wiederholung: n!/(n−k)!), Kombination ohne Wiederholung (Reihenfolge egal, keine Wiederholung: Binomialkoeffizient) und Kombination mit Wiederholung (Reihenfolge egal, Wiederholung erlaubt).

Der Binomialkoeffizient C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) zählt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge und ist damit das zentrale Werkzeug für Kombinationen ohne Wiederholung. Für Kombinationen MIT Wiederholung — z. B. wie viele Arten es gibt, k identische Kugeln auf n Fächer zu verteilen — gilt stattdessen C(n+k−1,k) = (n+k−1)!/(k!(n−1)!).

4.3 Das Laplace-Modell

Im Laplace-Modell sind alle Elementarereignisse eines endlichen Ergebnisraums Ω gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ergibt sich dann als P(A) = |A|/|Ω| — 'Anzahl günstiger Fälle geteilt durch Anzahl möglicher Fälle'. Kombinatorische Zähltechniken (Permutationen, Binomialkoeffizienten) liefern dabei |A| und |Ω|.

Das Laplace-Modell ist nur anwendbar, wenn tatsächlich Gleichwahrscheinlichkeit vorliegt (z. B. beim fairen Würfel oder bei rein zufälligem Ziehen) — bei ungleich wahrscheinlichen Ergebnissen (z. B. gezinkter Würfel) versagt die einfache Formel.

5.1 Relationen und ihre Eigenschaften

Eine (zweistellige) Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge von M×M; man schreibt a R b, falls (a,b)∈R. Wichtige Eigenschaften: Reflexivität (a R a für alle a), Symmetrie (a R b ⇒ b R a), Antisymmetrie (a R b ∧ b R a ⇒ a=b) und Transitivität (a R b ∧ b R c ⇒ a R c).

Diese vier Eigenschaften bilden die Bausteine, aus denen sich die zwei wichtigsten Relationstypen zusammensetzen: Äquivalenzrelationen (reflexiv, symmetrisch, transitiv) und Ordnungsrelationen (reflexiv, antisymmetrisch, transitiv).

Da eine Relation auf einer n-elementigen Menge M nichts anderes als eine Teilmenge von M×M ist, lässt sich die Anzahl reflexiver Relationen direkt kombinatorisch bestimmen: Die n Diagonalelemente (a,a) müssen zwingend enthalten sein, über die restlichen n²−n Elemente von M×M kann dagegen frei entschieden werden. Das liefert genau 2^(n²−n) reflexive Relationen.

5.2 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Eine Äquivalenzrelation partitioniert eine Menge M vollständig in disjunkte Äquivalenzklassen: Für jedes a∈M ist [a] = {b∈M | a R b} die Menge aller zu a äquivalenten Elemente. Je zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt, und die Vereinigung aller Klassen ergibt wieder ganz M.

Äquivalenzrelationen erlauben es, Objekte, die sich in einer bestimmten Hinsicht 'gleich verhalten', zu einer einzigen Klasse zusammenzufassen und dadurch neue mathematische Objekte zu konstruieren (z. B. die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Bruchpaaren).

5.3 Ordnungsrelationen

Eine Ordnungsrelation heißt total (linear), wenn für je zwei Elemente a,b gilt a R b oder b R a — je zwei Elemente sind also stets vergleichbar. Andernfalls spricht man von einer partiellen (Halb-)Ordnung, bei der es nicht vergleichbare Elementpaare geben kann.

In einer Halbordnung heißt ein Element m minimal, wenn kein Element echt kleiner ist, und Minimum, wenn es zusätzlich mit jedem anderen Element vergleichbar und kleiner-gleich ist — ein Minimum ist stets auch minimal, aber nicht umgekehrt.

6.1 Die Peano-Axiome

Die natürlichen Zahlen lassen sich axiomatisch durch die Peano-Axiome charakterisieren: 0 ist eine natürliche Zahl; jede natürliche Zahl n hat einen eindeutigen Nachfolger n+1; 0 ist kein Nachfolger; verschiedene Zahlen haben verschiedene Nachfolger; und das Induktionsaxiom besagt, dass jede Eigenschaft, die für 0 gilt und sich von n auf n+1 vererbt, für alle natürlichen Zahlen gilt.

Das Induktionsaxiom ist die formale Grundlage der Beweismethode der vollständigen Induktion und garantiert, dass man von einem Anfangsfall ausgehend durch wiederholtes 'einen Schritt weitergehen' tatsächlich alle natürlichen Zahlen erreicht.

6.2 Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Um eine Aussage A(n) für alle n≥n₀ zu beweisen, zeigt man zwei Dinge: den Induktionsanfang A(n₀) (die Aussage gilt für den Startwert) und den Induktionsschritt A(n)⇒A(n+1) für beliebiges n≥n₀ (unter der Induktionsannahme, dass A(n) gilt, zeigt man, dass dann auch A(n+1) gilt). Aus beidem folgt nach dem Induktionsaxiom, dass A(n) für alle n≥n₀ gilt.

Ein klassisches Anwendungsbeispiel ist die Gaußsche Summenformel: Für alle n≥1 gilt 1+2+...+n = n(n+1)/2. Der Induktionsanfang (n=1: 1 = 1·2/2 = 1) ist trivial; im Induktionsschritt nimmt man an, die Formel gelte für n, und zeigt, dass 1+...+n+(n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n+2)/2 — genau die Formel für n+1.

6.3 Rekursive Definitionen

Rekursive Definitionen legen ein mathematisches Objekt fest, indem sie einen Basisfall angeben und den allgemeinen Fall auf einen bereits definierten, kleineren Fall zurückführen — strukturell eng verwandt mit der vollständigen Induktion. Die Fakultät ist ein Standardbeispiel: 0! = 1 und n! = n·(n−1)! für n≥1.

Rekursive Definitionen und Induktionsbeweise passen typischerweise zusammen: Eine über Rekursion definierte Größe lässt sich meist elegant per Induktion auf ihre geschlossene Form (eine Formel ohne Rekursion) zurückführen.

6.4 Weitere Anwendungen der Induktion: Summenformeln und Ungleichungen

Neben der Gaußschen Summenformel lassen sich viele weitere Summenformeln per Induktion beweisen. Für die Summe der ersten n Quadratzahlen gilt Σ(k=1,n) k² = n(n+1)(2n+1)/6 — auch dieser Induktionsbeweis folgt demselben Muster aus Induktionsanfang und Induktionsschritt.

Auch Ungleichungen lassen sich per Induktion zeigen. Die Bernoulli-Ungleichung (1+x)ⁿ ≥ 1+nx gilt für alle reellen x≥−1 und alle n∈N₀ und ist eines der am häufigsten verwendeten Hilfsmittel der Analysis, um Potenzen nach unten abzuschätzen, ohne den genauen Wert von (1+x)ⁿ berechnen zu müssen.

7.1 Abbildungen, Definitions- und Wertebereich

Eine Abbildung f: A→B ordnet jedem Element a∈A (Definitionsbereich) genau ein Element f(a)∈B (Zielmenge) zu. Der Wertebereich (die Bildmenge) f(A) = {f(a) | a∈A} ist die Teilmenge von B, die tatsächlich als Funktionswert auftritt — er muss nicht mit der gesamten Zielmenge B übereinstimmen.

Zwei Abbildungen f,g: A→B sind genau dann gleich, wenn f(a)=g(a) für alle a∈A gilt — nicht schon, wenn ihre Zuordnungsvorschriften unterschiedlich aussehen, aber dieselben Werte liefern.

7.2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Eine Abbildung f: A→B heißt injektiv, wenn verschiedene Elemente stets auf verschiedene Bilder abgebildet werden (f(a₁)=f(a₂) ⇒ a₁=a₂). Sie heißt surjektiv, wenn jedes Element von B als Bild getroffen wird (f(A)=B). Ist f sowohl injektiv als auch surjektiv, heißt sie bijektiv — in diesem Fall existiert eine eindeutige Umkehrabbildung f⁻¹: B→A.

Für endliche Mengen mit |A|=|B| ist eine Abbildung f:A→B bereits dann bijektiv, wenn sie injektiv ODER surjektiv ist — die jeweils andere Eigenschaft folgt automatisch (Schubfachprinzip-Argument).

7.3 Verkettung und Umkehrabbildung

Sind f: A→B und g: B→C Abbildungen, so ist die Verkettung g∘f: A→C definiert durch (g∘f)(a) = g(f(a)) — zuerst wird f, dann g angewendet. Die Verkettung ist assoziativ, aber im Allgemeinen nicht kommutativ (g∘f ≠ f∘g).

Ist f: A→B bijektiv, erfüllt die Umkehrabbildung f⁻¹: B→A die Beziehungen f⁻¹∘f = id_A und f∘f⁻¹ = id_B, wobei id die identische Abbildung bezeichnet, die jedes Element auf sich selbst abbildet.

8.1 Angeordnete Körper und Beträge

ℝ ist ein angeordneter Körper: Neben den Körperaxiomen (Kapitel 3) existiert eine mit den Verknüpfungen verträgliche Ordnung ≤. Der Betrag |x| = x für x≥0 und |x| = −x für x<0 misst den Abstand einer Zahl zum Nullpunkt und erfüllt die Dreiecksungleichung |x+y| ≤ |x|+|y|.

Die Dreiecksungleichung ist eines der am häufigsten verwendeten Werkzeuge der Analysis, um Abstände und Fehlerabschätzungen nach oben zu begrenzen.

8.2 Supremum, Infimum und Vollständigkeit

Eine obere Schranke einer Menge M⊆ℝ ist eine Zahl s mit x≤s für alle x∈M. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum (sup M); analog ist das Infimum (inf M) die größte untere Schranke. Anders als Maximum/Minimum müssen Supremum/Infimum nicht selbst Element von M sein.

Das Vollständigkeitsaxiom von ℝ besagt: Jede nach oben beschränkte, nichtleere Teilmenge von ℝ besitzt ein Supremum in ℝ. Diese Eigenschaft unterscheidet ℝ fundamental von ℚ, wo z. B. die Menge {x∈ℚ | x²<2} zwar nach oben beschränkt ist, aber kein Supremum in ℚ besitzt (√2 ist irrational).

8.3 Der Satz von Archimedes

Der Satz von Archimedes besagt: Zu jeder reellen Zahl x existiert eine natürliche Zahl n mit n>x — die natürlichen Zahlen sind in ℝ also nicht nach oben beschränkt. Formal folgt dies aus dem Vollständigkeitsaxiom: Wäre ℕ nach oben beschränkt, besäße ℕ ein Supremum s; dann wäre aber auch s−1 keine obere Schranke mehr, sodass ein n∈ℕ mit n>s−1 existiert — dann ist aber n+1>s, im Widerspruch dazu, dass s obere Schranke von ℕ sein sollte.

Eine wichtige Folgerung: Zu jedem ε>0 existiert ein n∈ℕ mit 1/n<ε. Diese Folgerung wird ständig verwendet, um zu zeigen, dass eine Folge wie (1/n) gegen 0 konvergiert, und ist die Basis vieler ε-N-Beweise.

8.4 Dichtheit von Q in R

ℚ liegt dicht in ℝ: Zwischen zwei beliebigen reellen Zahlen a<b liegt stets mindestens eine (und damit unendlich viele) rationale Zahl. Äquivalent dazu lässt sich jede reelle Zahl beliebig genau durch eine Folge rationaler Zahlen approximieren — jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Folge rationaler Zahlen. Der Beweis dieser Dichtheit nutzt gerade den Satz von Archimedes aus Abschnitt 8.3, um eine passende rationale Zahl zwischen a und b explizit zu konstruieren.

Diese Dichtheit ist praktisch bedeutsam, weil numerische Berechnungen (z. B. mit endlichen Dezimalzahlen) immer nur rationale Approximationen reeller Zahlen liefern können — die Dichtheit garantiert aber, dass diese Approximation beliebig genau gemacht werden kann.

9.1 Konvergenz und Grenzwert

Eine Folge (aₙ) konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn für jedes noch so kleine ε>0 ein Index N existiert, sodass |aₙ−a|<ε für alle n≥N gilt — die Folgenglieder kommen dem Grenzwert also beliebig nahe und bleiben ihm beliebig nahe. Man schreibt lim(n→∞) aₙ = a.

Konvergiert eine Folge nicht gegen einen endlichen Grenzwert, heißt sie divergent. Eine wichtige notwendige (aber nicht hinreichende) Bedingung für Konvergenz ist Beschränktheit: jede konvergente Folge ist beschränkt, aber nicht jede beschränkte Folge konvergiert.

9.2 Grenzwertsätze

Konvergieren (aₙ)→a und (bₙ)→b, so gelten die Grenzwertsätze: lim(aₙ+bₙ) = a+b, lim(aₙ·bₙ) = a·b, und falls b≠0 (und bₙ≠0 ab einem Index) lim(aₙ/bₙ) = a/b. Diese Sätze erlauben es, komplizierte Grenzwerte aus einfacheren zusammenzusetzen, ohne jedes Mal auf die ε-N-Definition zurückgreifen zu müssen.

Bei unbestimmten Ausdrücken (z. B. ∞/∞ oder 0·∞) versagen die einfachen Grenzwertsätze; hier helfen Umformungstricks wie das Ausklammern der höchsten Potenz im Nenner und Zähler.

9.3 Monotonie und das Monotoniekriterium

Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn aₙ₊₁≥aₙ für alle n gilt (streng, wenn > statt ≥), und monoton fallend im umgekehrten Fall. Das Monotoniekriterium besagt: Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert (analog für monoton fallend und nach unten beschränkt) — eine direkte Konsequenz der Vollständigkeit von ℝ.

Dieses Kriterium ist besonders nützlich, wenn man den Grenzwert einer rekursiv definierten Folge noch nicht kennt, aber Monotonie und Beschränktheit zeigen kann — die Konvergenz folgt dann bereits, bevor man den konkreten Grenzwert berechnet.

9.4 Die Eulersche Zahl

Die Folge aₙ=(1+1/n)ⁿ ist monoton wachsend und nach oben beschränkt (durch 3), konvergiert also nach dem Monotoniekriterium (Abschnitt 9.3). Ihr Grenzwert wird als die Eulersche Zahl e definiert: e := lim(n→∞) (1+1/n)ⁿ ≈ 2,71828. e ist eine der wichtigsten Konstanten der Analysis und Basis des natürlichen Logarithmus.

Allgemeiner gilt für jedes feste x∈ℝ: lim(n→∞) (1+x/n)ⁿ = eˣ. Diese Formel verbindet den Folgengrenzwert direkt mit der Exponentialfunktion und wird u. a. in der Zinseszinsrechnung bei kontinuierlicher Verzinsung verwendet.

10.1 Teilfolgen und Häufungspunkte

Eine Teilfolge entsteht, indem man aus einer Folge (aₙ) eine unendliche Auswahl von Gliedern unter Beibehaltung der Reihenfolge herausgreift: (a_{n_k}) mit n₁<n₂<n₃<.... Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, gegen den mindestens eine Teilfolge konvergiert.

Konvergiert eine Folge insgesamt, besitzt sie genau einen Häufungspunkt (ihren Grenzwert), und jede Teilfolge konvergiert gegen denselben Wert. Divergente, aber beschränkte Folgen können dagegen mehrere Häufungspunkte besitzen.

10.2 Der Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt mindestens eine konvergente Teilfolge. Dieses Resultat ist fundamental, weil es Konvergenz einer Teilfolge garantiert, selbst wenn die ursprüngliche Folge insgesamt nicht konvergiert.

Der Satz wird typischerweise über wiederholte Intervallhalbierung bewiesen: Man halbiert ein die Folge enthaltendes Intervall wiederholt und wählt jeweils die Hälfte, die unendlich viele Folgenglieder enthält — die Intervalllängen schrumpfen gegen 0 und definieren so einen Häufungspunkt.

10.3 Cauchy-Folgen und das Cauchy-Kriterium

Eine Folge (aₙ) heißt Cauchy-Folge, wenn für jedes ε>0 ein Index N existiert, sodass |aₙ−aₘ|<ε für alle n,m≥N gilt — die Folgenglieder rücken also nicht nur einem festen Grenzwert näher, sondern auch zunehmend zusammen. Das Cauchy-Kriterium besagt: Eine reelle Folge konvergiert genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Der entscheidende Vorteil des Cauchy-Kriteriums gegenüber der gewöhnlichen Konvergenzdefinition: Man kann die Cauchy-Eigenschaft prüfen, ohne den (möglicherweise unbekannten) Grenzwert vorher zu kennen — man vergleicht nur die Folgenglieder untereinander.

10.4 Limes superior und Limes inferior

Für eine beschränkte Folge (aₙ) ist der Limes superior lim sup aₙ der größte Häufungspunkt der Folge, der Limes inferior lim inf aₙ der kleinste Häufungspunkt. Formal: lim sup aₙ = lim(n→∞) sup{aₖ : k≥n} (das Supremum der 'Schwänze' der Folge, das mit wachsendem n fällt oder gleich bleibt).

Eine Folge konvergiert genau dann, wenn lim sup aₙ = lim inf aₙ gilt — in diesem Fall stimmen beide mit dem gewöhnlichen Grenzwert überein. Sind sie verschieden, besitzt die Folge mehrere Häufungspunkte und divergiert.

11.1 Reihen als Folgen von Partialsummen

Zu einer Folge (aₙ) definiert man die Partialsummen sₙ = a₁+a₂+...+aₙ. Die Reihe Σaₙ konvergiert per Definition genau dann, wenn die Folge der Partialsummen (sₙ) konvergiert; der Grenzwert heißt dann Summe der Reihe. Eine notwendige (nicht hinreichende) Bedingung für Konvergenz ist, dass aₙ→0 — das sogenannte Nullfolgenkriterium.

Das Nullfolgenkriterium taugt nur zum Ausschluss von Konvergenz: geht aₙ nicht gegen 0, divergiert die Reihe garantiert. Geht aₙ gegen 0, ist damit über Konvergenz der Reihe noch nichts entschieden (Gegenbeispiel: harmonische Reihe).

11.2 Die geometrische Reihe

Die geometrische Reihe Σqⁿ (n=0 bis ∞) konvergiert genau dann, wenn |q|<1, mit Summenwert 1/(1−q). Für |q|≥1 divergiert die Reihe. Die geometrische Reihe ist eine der wenigen Reihen, deren Summe sich in geschlossener Form explizit angeben lässt.

Die endliche Partialsumme lautet sₙ = (1−qⁿ⁺¹)/(1−q) für q≠1; lässt man n→∞ gehen und nutzt qⁿ⁺¹→0 für |q|<1, ergibt sich direkt die Summenformel der unendlichen Reihe.

11.3 Konvergenzkriterien: Quotienten- und Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium: existiert lim|aₙ₊₁/aₙ| = L, so konvergiert Σaₙ absolut für L<1, divergiert für L>1 (für L=1 ist keine Aussage möglich). Das Wurzelkriterium: existiert lim ⁿ√|aₙ| = L, gelten dieselben Grenzfälle.

Absolute Konvergenz (Konvergenz von Σ|aₙ|) ist eine stärkere Eigenschaft als einfache Konvergenz: sie garantiert zusätzlich, dass beliebige Umordnungen der Reihenglieder den Summenwert nicht verändern — bei nur bedingt konvergenten Reihen kann Umordnen dagegen den Summenwert verändern.

11.4 Majoranten- und Minorantenkriterium

Das Majorantenkriterium: Gilt 0≤aₙ≤bₙ für fast alle n und konvergiert Σbₙ, so konvergiert auch Σaₙ (absolut). Das Minorantenkriterium: Gilt 0≤bₙ≤aₙ für fast alle n und divergiert Σbₙ, so divergiert auch Σaₙ. Beide Kriterien vergleichen eine unbekannte Reihe mit einer bereits bekannten (der harmonischen oder geometrischen Reihe).

Die Kunst bei der Anwendung liegt darin, eine geeignete Vergleichsreihe zu finden — meist reicht es, den dominanten Term für große n zu betrachten und die restlichen Terme geeignet abzuschätzen.

11.5 Das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

Eine alternierende Reihe hat die Form Σ(−1)ⁿaₙ mit aₙ≥0. Das Leibniz-Kriterium besagt: Ist (aₙ) monoton fallend mit aₙ→0, so konvergiert die alternierende Reihe Σ(−1)ⁿaₙ. Dies gilt auch dann, wenn Σaₙ selbst (ohne Vorzeichenwechsel) divergiert.

Das Leibniz-Kriterium liefert daher Beispiele für bedingt konvergente Reihen — Reihen, die konvergieren, obwohl die Reihe der Absolutbeträge divergiert (z. B. die alternierende harmonische Reihe).

11.6 Teleskopsummen

Eine Teleskopsumme liegt vor, wenn sich die Summanden als Differenz aₙ=bₙ−bₙ₊₁ schreiben lassen — dann heben sich bei der Partialsumme fast alle Terme gegenseitig auf: Σ(k=1,n)(bₖ−bₖ₊₁) = b₁−bₙ₊₁. Konvergiert (bₙ), lässt sich der Reihenwert direkt als b₁−lim bₙ ablesen, ohne ein allgemeines Konvergenzkriterium zu benötigen.

Teleskopsummen treten häufig nach einer Partialbruchzerlegung auf, wenn ein Bruch der Form 1/(n(n+k)) in eine Differenz zweier einfacherer Brüche zerlegt wird.

11.7 Das Cauchy-Produkt zweier Reihen

Das Cauchy-Produkt zweier Reihen Σaₙ und Σbₙ ist definiert als die Reihe Σcₙ mit cₙ = Σ(k=0,n) aₖ·bₙ₋ₖ — man multipliziert die beiden Reihen formal aus und fasst alle Terme mit gleichem Gesamtindex n zusammen. Sind beide Ausgangsreihen absolut konvergent, so ist auch das Cauchy-Produkt konvergent mit Σcₙ = (Σaₙ)·(Σbₙ).

Ohne absolute Konvergenz kann das Cauchy-Produkt divergieren, selbst wenn beide Ausgangsreihen konvergieren — absolute Konvergenz ist hier also eine echte zusätzliche Voraussetzung, nicht nur eine Vereinfachung.

12.1 Potenzreihen und Konvergenzradius

Eine Potenzreihe hat die Form Σaₙ(x−x₀)ⁿ. Zu jeder Potenzreihe existiert ein Konvergenzradius R∈[0,∞], sodass die Reihe für |x−x₀|<R absolut konvergiert und für |x−x₀|>R divergiert (der Randfall |x−x₀|=R muss gesondert untersucht werden). R lässt sich häufig über R = lim|aₙ/aₙ₊₁| (falls dieser Grenzwert existiert) berechnen.

Der Konvergenzradius bestimmt das größte Intervall um den Entwicklungspunkt x₀, auf dem die Potenzreihe eine wohldefinierte Funktion darstellt — außerhalb dieses Intervalls ist die Reihe schlicht nicht auswertbar.

12.2 Die Exponentialreihe

Die Exponentialfunktion lässt sich über ihre Potenzreihe definieren: exp(x) = Σ(n=0,∞) xⁿ/n! = 1+x+x²/2!+x³/3!+.... Diese Reihe konvergiert für alle x∈ℝ (Konvergenzradius R=∞) und erfüllt die Funktionalgleichung exp(x+y) = exp(x)·exp(y).

Die Eulersche Zahl e ergibt sich als Spezialfall e = exp(1) = Σ1/n! ≈ 2,71828 — konsistent mit der über Folgen definierten Eulerschen Zahl aus Abschnitt 9.4. Die Reihendefinition erlaubt es, exp auch für komplexe Argumente zu definieren und liefert (mit x=iφ) direkt die Eulersche Formel als Verbindung zu Sinus und Kosinus.

12.3 Sinus- und Kosinusreihe

Analog zur Exponentialreihe lassen sich Sinus und Kosinus über Potenzreihen definieren: sin(x) = Σ(n=0,∞) (−1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! und cos(x) = Σ(n=0,∞) (−1)ⁿx²ⁿ/(2n)!. Beide Reihen konvergieren für alle x∈ℝ.

Diese Reihendefinitionen sind der rigorose Ersatz für die anschauliche Definition über rechtwinklige Dreiecke am Einheitskreis und ermöglichen es, Sinus und Kosinus analytisch (z. B. für Ableitungen, Integrale, komplexe Argumente) zu behandeln.

12.4 Periodizität und Nullstellen von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus sind periodisch mit der (kleinsten) Periode 2π: sin(x+2π)=sin(x) und cos(x+2π)=cos(x) für alle x. Für eine skalierte Variante sin(cx) (c≠0) ergibt sich die kleinste Periode a aus c·a=2π, also a=2π/c.

Die Nullstellenmengen lauten sin(x)=0 ⇔ x=kπ (k∈Z) und cos(x)=0 ⇔ x=π/2+kπ (k∈Z). Bei einer skalierten Variante wie cos(cx) verschieben sich diese Nullstellen entsprechend um den Faktor 1/c.

12.5 Gerade und ungerade Funktionen

Eine Funktion f heißt gerade, wenn f(−x)=f(x) für alle x im Definitionsbereich gilt (der Graph ist spiegelsymmetrisch zur y-Achse), und ungerade, wenn f(−x)=−f(x) gilt (punktsymmetrisch zum Ursprung). Kosinus ist gerade (cos(−x)=cos(x)), Sinus ist ungerade (sin(−x)=−sin(x)).

Eine ungerade Funktion erfüllt zwingend f(0)=0 (aus f(−0)=−f(0) folgt f(0)=−f(0), also 2f(0)=0). Für gerade Funktionen gibt es dagegen keine erzwungene Aussage über f(0) — cos(0)=1≠0 ist ein Gegenbeispiel.

12.6 Additionstheoreme

Für Sinus und Kosinus gelten die Additionstheoreme sin(x+y) = sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y) und cos(x+y) = cos(x)cos(y)−sin(x)sin(y). Sie lassen sich aus den Potenzreihen (Abschnitt 12.3) über das Cauchy-Produkt (Abschnitt 11.7) herleiten und sind das zentrale Werkzeug, um trigonometrische Ausdrücke bei verschobenem oder verdoppeltem Argument umzuformen.

Ein wichtiger Spezialfall (x=y) liefert die Doppelwinkelformeln sin(2x)=2sin(x)cos(x) und cos(2x)=cos²(x)−sin²(x).