Aussagenlogik, Mengenlehre, Relationen, Abbildungen, Folgen, Reihen & Potenzreihen — Stoff der Semesterklausur (1. Prüfungsteil)

2.1 Mengen, Elemente und Teilmengen

Nach der (naiven) Mengendefinition von Georg Cantor ist eine Menge eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Diese Objekte heißen Elemente der Menge. Man schreibt x ∈ M, falls x Element von M ist, und x ∉ M sonst.

Mengen lassen sich durch Aufzählung ihrer Elemente (z. B. M = {1, 2, 3}) oder durch eine definierende Eigenschaft (z. B. M = {x ∈ N : x ist gerade}) angeben. Eine Menge A heißt Teilmenge von B (A ⊂ B), falls jedes Element von A auch Element von B ist. Gilt A ⊂ B und B ⊂ A, so sind A und B gleich.

2.2 Vereinigung, Durchschnitt und Differenz

Aus zwei Mengen A, B (Teilmengen einer Grundmenge Ω) lassen sich mit den Junktoren aus Kapitel 1 neue Mengen bilden: die Vereinigung A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}, der Durchschnitt A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B} und die Differenz A \ B = {x ∈ A : x ∉ B}. Ist A ⊂ Ω, so heißt Ω \ A das Komplement von A (bezüglich Ω), geschrieben Aᶜ.

Die Regeln von De Morgan aus Abschnitt 1.3 übertragen sich direkt auf Mengenoperationen: (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ und (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ. Zwei Mengen A, B heißen disjunkt, falls A ∩ B = ∅.

2.3 Kartesisches Produkt und Potenzmenge

Das kartesische Produkt A × B zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare (a, b) mit a ∈ A und b ∈ B. Für endliche Mengen gilt |A × B| = |A| · |B|, wobei |M| die Kardinalität (Anzahl der Elemente) von M bezeichnet. Das kartesische Produkt ist die Grundlage für den Begriff der Relation in Kapitel 4.

Die Potenzmenge P(M) einer Menge M ist die Menge aller Teilmengen von M, einschließlich ∅ und M selbst. Für eine endliche Menge M mit |M| = n Elementen gilt |P(M)| = 2ⁿ — jedes Element ist entweder in einer Teilmenge enthalten oder nicht, was 2 unabhängige Möglichkeiten pro Element und damit 2ⁿ Kombinationen ergibt.

3.1 Verknüpfungen und Halbgruppen

Eine (innere zweistellige) Verknüpfung auf einer nichtleeren Menge G ist eine Abbildung ∗: G × G → G, (a, b) ↦ a ∗ b. Das Paar (G, ∗) heißt Halbgruppe, falls die Verknüpfung assoziativ ist: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) für alle a, b, c ∈ G.

Assoziativität allein garantiert noch keine Umkehrbarkeit der Verknüpfung. (N, +) ist zum Beispiel eine Halbgruppe, aber zu 3 gibt es kein n ∈ N mit 3 + n = 0 — die Gleichung ist innerhalb von N nicht lösbar.

3.2 Gruppen und abelsche Gruppen

Eine Halbgruppe (G, ∗) heißt Gruppe, wenn zusätzlich ein neutrales Element e ∈ G existiert mit e ∗ a = a ∗ e = a für alle a ∈ G, und wenn zu jedem a ∈ G ein inverses Element a⁻¹ ∈ G existiert mit a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = e. Gilt zusätzlich a ∗ b = b ∗ a für alle a, b ∈ G (Kommutativität), so heißt (G, ∗) abelsche (oder kommutative) Gruppe.

(Z, +), (Q, +) und (R, +) sind abelsche Gruppen mit neutralem Element 0. (Q \ {0}, ·) und (R \ {0}, ·) sind ebenfalls abelsche Gruppen, diesmal mit neutralem Element 1. (N, +) ist dagegen keine Gruppe, da inverse Elemente fehlen.

3.3 Ringe und Körper

Ein Ring (R, +, ·) besteht aus einer Menge R mit zwei Verknüpfungen, sodass (R, +) eine abelsche Gruppe ist, · assoziativ ist und die Distributivgesetze a · (b + c) = a·b + a·c sowie (a + b) · c = a·c + b·c gelten. Ist · zusätzlich kommutativ, spricht man von einem kommutativen Ring; besitzt · ein neutrales Element (die '1'), von einem Ring mit Eins.

Ein Körper (K, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit Eins, in dem zusätzlich (K \ {0}, ·) eine abelsche Gruppe ist — jedes Element außer der 0 besitzt also ein multiplikatives Inverses. Q und R sind mit den gewohnten Operationen Körper; der kleinste Körper überhaupt ist F₂ = {0, 1} mit der Addition und Multiplikation modulo 2. Diese algebraische Struktur wird in Kapitel 8 wieder aufgegriffen, wenn wir die reellen Zahlen als vollständigen angeordneten Körper charakterisieren.

4.1 Relationen und ihre Eigenschaften

Eine (zweistellige) Relation R auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ⊂ M × M. Statt (x, y) ∈ R schreibt man häufig xRy. Relationen können verschiedene Eigenschaften besitzen: R heißt reflexiv, falls xRx für alle x ∈ M gilt; symmetrisch, falls aus xRy stets yRx folgt; antisymmetrisch, falls aus xRy und yRx stets x = y folgt; und transitiv, falls aus xRy und yRz stets xRz folgt.

Diese vier Eigenschaften sind unabhängig voneinander und werden in unterschiedlichen Kombinationen für die beiden wichtigsten Relationstypen benötigt: Äquivalenzrelationen (Abschnitt 4.2) und Ordnungsrelationen (Abschnitt 4.3).

4.2 Äquivalenzrelationen und Äquivalenzklassen

Eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, heißt Äquivalenzrelation. Zu jedem x ∈ M gehört dann die Äquivalenzklasse [x] := {y ∈ M : xRy}. Äquivalenzklassen partitionieren M vollständig: Je zwei Äquivalenzklassen sind entweder identisch oder disjunkt, und ihre Vereinigung ergibt ganz M.

Ein Standardbeispiel ist die Kongruenzrelation modulo m auf Z: x ≡ y (mod m) :⇔ m teilt (x − y). Sie ist mit Addition und Multiplikation verträglich, das heißt aus x₁ ≡ x₂ und y₁ ≡ y₂ (mod m) folgt x₁ + y₁ ≡ x₂ + y₂ (mod m) sowie x₁y₁ ≡ x₂y₂ (mod m).

4.3 Ordnungsrelationen

Eine Relation, die reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist, heißt Ordnungsrelation (oder partielle Ordnung). Im Gegensatz zu einer totalen Ordnung müssen bei einer partiellen Ordnung nicht je zwei Elemente vergleichbar sein — es kann x, y ∈ M geben mit weder xRy noch yRx.

Die übliche Kleiner-Gleich-Relation ≤ auf R ist eine totale Ordnung: je zwei reelle Zahlen sind vergleichbar. Die Teilmengenrelation ⊂ auf der Potenzmenge P(M) einer Menge M mit mindestens zwei Elementen ist dagegen nur eine partielle Ordnung: für disjunkte, nichtleere A, B ⊂ M gilt weder A ⊂ B noch B ⊂ A.

5.1 Das Induktionsprinzip

Das Induktionsaxiom (eines der Peano-Axiome) besagt: Ist T ⊂ N eine Teilmenge mit 1 ∈ T, und folgt aus n ∈ T stets n + 1 ∈ T, so ist T = N. Anschaulich: Wenn eine 'Kette' bei 1 beginnt und von jedem Glied zum nächsten fortgesetzt werden kann, erreicht sie jede natürliche Zahl.

Aus diesem Axiom leitet sich das Beweisverfahren der vollständigen Induktion ab: Um eine Aussage A(n) für alle n ∈ N (oder alle n ≥ n₀) zu zeigen, genügt es, den Induktionsanfang A(n₀) zu zeigen und im Induktionsschritt für beliebiges n ≥ n₀ die Implikation A(n) ⇒ A(n+1) nachzuweisen — wobei A(n) im Schritt als Induktionsvoraussetzung angenommen werden darf.

5.2 Ein vollständiger Induktionsbeweis: die Gaußsche Summenformel

Als Musterbeispiel zeigen wir für alle n ∈ N die Aussage A(n): 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.

Induktionsanfang (n=1): Die linke Seite ist 1, die rechte Seite ist 1·2/2 = 1 — A(1) gilt.

Induktionsschritt: Es gelte A(n) für ein beliebiges n ∈ N. Dann folgt Σ_{k=1}^{n+1} k = Σ_{k=1}^{n} k + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n+1)(n/2 + 1) = (n+1)(n+2)/2, was genau A(n+1) ist. Damit ist die Aussage für alle n ∈ N durch vollständige Induktion bewiesen.

5.3 Vollständige Induktion bei Ungleichungen

Vollständige Induktion eignet sich nicht nur für Gleichungen, sondern ebenso für Ungleichungen. Ein zentrales Beispiel, das in Kapitel 9 bei der Konvergenz geometrischer Folgen benötigt wird, ist die Bernoulli-Ungleichung: Für alle x ≥ −1 und alle n ∈ N₀ gilt (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx.

Der Induktionsanfang (n = 0) liefert 1 ≥ 1. Im Induktionsschritt multipliziert man die Induktionsvoraussetzung (1+x)ⁿ ≥ 1 + nx (gültig für ein n) mit dem nichtnegativen Faktor (1+x) und schätzt das entstehende quadratische Glied nx² ≥ 0 nach unten durch 0 ab, um (1+x)^{n+1} ≥ 1 + (n+1)x zu erhalten.

6.1 Abbildungen, Definitions- und Wertebereich

Eine Abbildung (oder Funktion) f: A → B ordnet jedem Element x ∈ A genau ein Element f(x) ∈ B zu. A heißt Definitionsbereich, B Wertebereich (oder Zielmenge) von f. Als Relation aufgefasst ist f eine Teilmenge von A × B, in der zu jedem a ∈ A genau ein Paar (a, f(a)) vorkommt — das unterscheidet Abbildungen von allgemeinen Relationen.

Zwei Abbildungen f, g: A → B sind genau dann gleich, wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ A gilt.

6.2 Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Eine Abbildung f: A → B heißt injektiv, falls aus f(x₁) = f(x₂) stets x₁ = x₂ folgt — verschiedene Elemente werden also stets auf verschiedene Elemente abgebildet. Sie heißt surjektiv, falls es zu jedem b ∈ B ein x ∈ A gibt mit f(x) = b, das heißt, wenn der Wertebereich vollständig 'ausgeschöpft' wird. Ist f sowohl injektiv als auch surjektiv, heißt f bijektiv.

Nur bijektive Abbildungen besitzen eine Umkehrabbildung f⁻¹: B → A. Für endliche Mengen A, B mit |A| = |B| ist eine Abbildung f: A → B bereits genau dann bijektiv, wenn sie injektiv ist (und äquivalent dazu, wenn sie surjektiv ist).

6.3 Bild, Urbild und Verkettung

Für eine Abbildung f: A → B und Teilmengen M ⊂ A, N ⊂ B definiert man das Bild f(M) := {f(x) : x ∈ M} ⊂ B sowie das Urbild f⁻¹(N) := {x ∈ A : f(x) ∈ N} ⊂ A. Achtung: f⁻¹(N) ist hier als Menge definiert und setzt keine Umkehrabbildung voraus — auch nicht-bijektive Abbildungen besitzen Urbilder von Mengen.

Sind f: A → B und g: B → C Abbildungen, so ist die Verkettung g ∘ f: A → C, x ↦ g(f(x)) definiert. Sind f und g beide injektiv (bzw. surjektiv), so ist auch g ∘ f injektiv (bzw. surjektiv) — diese Vererbungseigenschaft wird beim Zählen von Abbildungen in Kapitel 7 nützlich.

7.1 Permutationen und Fakultät

Die Anzahl der Möglichkeiten, n unterscheidbare Objekte in einer Reihenfolge anzuordnen (Permutationen), ist n! := 1 · 2 · ... · n (mit der Konvention 0! := 1). Diese Formel folgt durch ein einfaches Abzählargument: Für die erste Position gibt es n Möglichkeiten, für die zweite noch n−1, und so weiter — ein Argument, das sich auch als Induktion über n formalisieren lässt (vgl. Kapitel 5).

7.2 Binomialkoeffizient und binomische Formel

Der Binomialkoeffizient C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (auch geschrieben als "n über k") gibt die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge an — die Reihenfolge der Auswahl spielt also keine Rolle. Die Werte lassen sich rekursiv im Pascalschen Dreieck über C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k) erzeugen.

Die binomische Formel verallgemeinert die bekannten binomischen Formeln zweiten Grades auf beliebige Exponenten: (a+b)ⁿ = Σ_{k=0}^{n} C(n,k) aᵏ b^{n−k}. Sie lässt sich per vollständiger Induktion über n beweisen, wobei im Induktionsschritt genau die Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten verwendet wird.

7.3 Variationen und Kombinationen mit und ohne Wiederholung

Neben Permutationen und dem klassischen Binomialkoeffizienten (Kombination ohne Wiederholung) unterscheidet man weitere Abzählmodelle: Variationen ohne Wiederholung (Ziehen von k aus n Elementen mit Reihenfolge, ohne Zurücklegen: n!/(n−k)!), Variationen mit Wiederholung (mit Zurücklegen: nᵏ) und Kombinationen mit Wiederholung (Ziehen von k aus n ohne Reihenfolge, mit Zurücklegen: C(n+k−1, k)).

Welches Modell zutrifft, entscheidet sich an zwei Fragen: Kommt es auf die Reihenfolge an, und darf ein Element mehrfach gewählt werden?

7.4 Das Laplace-Modell

Ein Zufallsexperiment mit endlichem Ergebnisraum Ω, bei dem jedes Elementarereignis gleich wahrscheinlich ist, heißt Laplace-Experiment. Für ein Ereignis A ⊂ Ω gilt dann P(A) = |A| / |Ω| — 'Anzahl der günstigen Fälle durch Anzahl der möglichen Fälle'. Genau hier zahlt sich die Kombinatorik der vorigen Abschnitte aus: Sowohl |A| als auch |Ω| lassen sich häufig nur mit Permutationen, Binomialkoeffizienten oder den Variations-/Kombinationsformeln bestimmen.

8.1 Von N über Z und Q zu R

Die natürlichen Zahlen N (Kapitel 5) reichen nicht aus, um Subtraktion uneingeschränkt zu erklären; die ganzen Zahlen Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} beheben das. Q, die Menge aller Brüche p/q mit p ∈ Z, q ∈ N, ergänzt Division. Sowohl (Z, +, ·) als auch (Q, +, ·) sind Ringe bzw. — im Fall von Q — sogar ein Körper im Sinne von Kapitel 3.

Doch Q hat eine Lücke: Es gibt kein x ∈ Q mit x² = 2 (ein klassischer Widerspruchsbeweis über die Primfaktorzerlegung zeigt das). Die reellen Zahlen R schließen genau diese Lücken und bilden — wie im nächsten Abschnitt präzisiert wird — einen vollständigen angeordneten Körper.

8.2 Angeordneter Körper und Dreiecksungleichung

R ist ein angeordneter Körper: Es gibt eine totale Ordnung ≤ (im Sinne von Kapitel 4), die mit den Körperoperationen verträglich ist, d. h. aus x ≤ y folgt x+z ≤ y+z für alle z, und aus x ≤ y und 0 ≤ z folgt x·z ≤ y·z. Aus diesen wenigen Axiomen lassen sich alle vertrauten Ungleichungsregeln herleiten, etwa dass x² ≥ 0 für alle x ∈ R gilt.

Der Betrag |x| (definiert als x für x ≥ 0 und −x für x < 0) erfüllt die Dreiecksungleichung |x + y| ≤ |x| + |y| für alle x, y ∈ R. Sie ist eines der am häufigsten verwendeten Werkzeuge in Konvergenzbeweisen ab Kapitel 9.

8.3 Schranken, Supremum, Infimum und das Vollständigkeitsaxiom

Eine Menge M ⊂ R heißt nach oben beschränkt, falls es s ∈ R gibt mit x ≤ s für alle x ∈ M; ein solches s heißt obere Schranke. Analog definiert man untere Schranken und nach unten beschränkte Mengen. Die kleinste obere Schranke heißt Supremum (sup M), die größte untere Schranke Infimum (inf M). Gehört das Supremum selbst zu M, so heißt es Maximum; analog für das Infimum und Minimum.

Das Vollständigkeitsaxiom (Axiom O4) ist die entscheidende Eigenschaft von R gegenüber Q: Jede nach oben beschränkte, nichtleere Teilmenge M ⊂ R besitzt ein Supremum in R. Für Q gilt das nicht — die Menge {q ∈ Q : q² < 2} ist in Q nach oben beschränkt, besitzt dort aber kein Supremum, da √2 ∉ Q.

8.4 Der Satz von Archimedes

Aus dem Vollständigkeitsaxiom folgt der Satz von Archimedes: Zu jeder reellen Zahl x gibt es ein n ∈ N mit n > x — N ist also in R nicht nach oben beschränkt. Der Beweis erfolgt indirekt: Wäre N nach oben beschränkt, besäße N nach Axiom O4 ein Supremum s. Dann wäre aber auch s − 1 keine obere Schranke mehr, es gäbe also ein m ∈ N mit m > s − 1, also m + 1 > s — im Widerspruch dazu, dass s obere Schranke von N ist.

Der Satz von Archimedes ist die Grundlage für viele Grenzwertargumente in Kapitel 9, insbesondere für den Nachweis, dass (1/n)_{n∈N} eine Nullfolge ist.

9.1 Der Folgenbegriff

Eine (reelle) Folge ist eine Abbildung a: N → R (vgl. Kapitel 6), meist geschrieben als (aₙ)_{n∈N} mit aₙ := a(n). Folgen können explizit (durch eine Formel für aₙ) oder rekursiv (durch einen Startwert und eine Vorschrift aₙ₊₁ = f(aₙ)) gegeben sein.

Ein klassisches Beispiel einer rekursiven Folge ist die Fibonacci-Folge: a₁ = a₂ = 1, aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ. Für sie existiert auch eine explizite (geschlossene) Formel, die sogenannte Formel von Binet.

9.2 Konvergenz und Grenzwert

Eine Folge (aₙ) heißt konvergent gegen α ∈ R, geschrieben aₙ → α oder lim_{n→∞} aₙ = α, falls es zu jedem ε > 0 ein n₀ ∈ N gibt, sodass |aₙ − α| < ε für alle n ≥ n₀. Anschaulich: Die Folgenglieder rücken beliebig nah an α heran und bleiben dort. Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Eine Folge, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Jede konvergente Folge ist beschränkt (die Umkehrung gilt nicht, wie das alternierende Beispiel aₙ = (−1)ⁿ zeigt).

9.3 Rechenregeln für Grenzwerte und der Sandwichsatz

Sind (aₙ), (bₙ) konvergent mit aₙ → α, bₙ → β, so gilt: (aₙ + bₙ) → α + β, (aₙ · bₙ) → α · β, und, falls β ≠ 0, (aₙ/bₙ) → α/β. Diese Regeln erlauben es, Grenzwerte komplizierter Ausdrücke aus bekannten Grenzwerten (etwa 1/n → 0) zusammenzusetzen, ohne jedes Mal die ε-Definition neu zu bemühen.

Der Sandwichsatz (Einschließungskriterium) besagt: Gilt aₙ ≤ cₙ ≤ bₙ für fast alle n und konvergieren (aₙ), (bₙ) beide gegen denselben Grenzwert α, so konvergiert auch (cₙ) gegen α. Dieses Kriterium ist oft der einfachste Weg, die Konvergenz einer unhandlichen Folge nachzuweisen.

9.4 Monotonie, Beschränktheit und monotone Konvergenz

Eine Folge (aₙ) heißt monoton wachsend, falls aₙ ≤ aₙ₊₁ für alle n gilt (streng, falls sogar aₙ < aₙ₊₁); analog monoton fallend. Der Satz über monotone Konvergenz ist einer der wichtigsten Sätze dieses Kapitels: Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergiert, und zwar gegen ihr Supremum. Analog konvergiert jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge gegen ihr Infimum.

Dieser Satz nutzt direkt das Vollständigkeitsaxiom aus Kapitel 8: Ohne die Existenz des Supremums in R gäbe es keinen Kandidaten für den Grenzwert. Ein Beweis über Bernoullis Ungleichung (Kapitel 5) zeigt zudem, dass für |q| < 1 stets qⁿ → 0 gilt — ein Baustein für die geometrische Reihe in Kapitel 11.

9.5 Die Eulersche Zahl e

Die Folgen aₙ := (1 + 1/n)ⁿ und bₙ := (1 + 1/n)^{n+1} spielen eine Sonderrolle: Man zeigt (mithilfe der Bernoulli-Ungleichung), dass (aₙ) monoton wächst und (bₙ) monoton fällt, sowie aₙ < bₙ für alle n. Nach dem Satz über monotone Konvergenz konvergieren beide Folgen, und zwar gegen denselben Grenzwert — dieser wird als die Eulersche Zahl e definiert (e ≈ 2,71828).

Über den Grenzwert lim_{n→∞} (1 + x/n)ⁿ = eˣ für x ∈ Q lässt sich die Exponentialfunktion zunächst für rationale Argumente einführen; Kapitel 13 setzt diese Konstruktion mit einer Potenzreihendarstellung fort, die für alle x ∈ R funktioniert.

10.1 Teilfolgen und der Satz von Bolzano-Weierstrass

Eine Teilfolge von (aₙ)_{n∈N} entsteht, indem man eine streng monoton wachsende Indexfolge (nₖ)_{k∈N} wählt und die Folge (a_{nₖ})_{k∈N} betrachtet. Konvergiert (aₙ) gegen α, so konvergiert auch jede Teilfolge gegen α.

Der Satz von Bolzano-Weierstrass ist zentral: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge. Der Beweis konstruiert über eine Intervallschachtelung (fortgesetzte Halbierung eines Intervalls, das unendlich viele Folgenglieder enthält) einen Häufungspunkt.

10.2 Cauchy-Folgen

Eine Folge (aₙ) heißt Cauchy-Folge, falls es zu jedem ε > 0 ein n₀ gibt, sodass |aₙ − aₘ| < ε für alle n, m ≥ n₀ — die Folgenglieder rücken also untereinander beliebig nah zusammen, ohne dass ein Grenzwert von vornherein bekannt sein muss. Das Cauchy-Kriterium besagt: Eine reelle Folge ist genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.

Dieses Kriterium ist besonders wertvoll, weil es Konvergenz nachweist, ohne den Grenzwert selbst zu kennen — ein Werkzeug, das in Kapitel 11 zum Cauchy-Kriterium für Reihen weiterentwickelt wird.

10.3 Häufungspunkte, Limes superior und Limes inferior

Ein Wert h heißt Häufungspunkt der Folge (aₙ), falls eine Teilfolge von (aₙ) gegen h konvergiert. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt (ihren Grenzwert); Folgen ohne Grenzwert können jedoch mehrere Häufungspunkte besitzen, z. B. hat aₙ = (−1)ⁿ die beiden Häufungspunkte −1 und 1.

Für eine beschränkte Folge sind Limes superior (lim sup aₙ, der größte Häufungspunkt) und Limes inferior (lim inf aₙ, der kleinste Häufungspunkt) stets wohldefiniert. Es gilt: (aₙ) konvergiert genau dann, wenn lim sup aₙ = lim inf aₙ.

10.4 Exkurs: Die Dichtheit von Q in R

Q liegt dicht in R: Zu jeder reellen Zahl x und jedem ε > 0 gibt es ein q ∈ Q mit |x − q| < ε — reelle Zahlen lassen sich also beliebig genau durch rationale Zahlen approximieren, etwa durch abgeschnittene Dezimalbruchentwicklungen.

Diese Dichtheit hat eine bemerkenswerte Konsequenz: Zählt man Q ∩ [0,1] als Folge auf (was möglich ist, da Q abzählbar ist), so besitzt diese Folge unendlich viele Häufungspunkte — genauer ist jeder Punkt aus [0,1] ein Häufungspunkt, da jede noch so kleine Umgebung unendlich viele rationale Zahlen enthält. Insbesondere gilt für eine solche Aufzählung lim inf = 0 und lim sup = 1.

11.1 Partialsummen und die geometrische Reihe

Zu einer Folge (aₖ) heißt die Folge der Partialsummen sₙ := Σ_{k=1}^{n} aₖ die (unendliche) Reihe Σ_{k=1}^{∞} aₖ. Konvergiert (sₙ), so heißt die Reihe konvergent mit Reihenwert lim_{n→∞} sₙ; andernfalls divergent. Sind alle aₖ ≥ 0, so ist die Reihe genau dann konvergent, wenn die Partialsummenfolge beschränkt ist — das folgt direkt aus dem Satz über monotone Konvergenz (Kapitel 9), da (sₙ) dann monoton wächst.

Die geometrische Reihe Σ_{n=0}^{∞} qⁿ konvergiert genau für |q| < 1, mit Reihenwert 1/(1−q). Für |q| ≥ 1 ist (qⁿ) keine Nullfolge, sodass Divergenz vorliegt (notwendiges Kriterium, siehe 11.2).

11.2 Cauchy-Kriterium und Leibniz-Kriterium

Da eine Reihe als Folge von Partialsummen definiert ist, überträgt sich das Cauchy-Kriterium aus Kapitel 10 direkt: Σaₖ konvergiert genau dann, wenn die Partialsummen eine Cauchy-Folge bilden. Eine unmittelbare Folgerung ist das notwendige Kriterium: Konvergiert Σaₖ, so ist (aₖ) eine Nullfolge. Die Umkehrung gilt nicht — die harmonische Reihe Σ1/n ist das Standardgegenbeispiel: (1/n) ist Nullfolge, doch die Reihe divergiert.

Für alternierende Reihen liefert das Leibniz-Kriterium eine einfache hinreichende Bedingung: Ist (bₖ) eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert Σ(−1)ᵏ bₖ. Die alternierende harmonische Reihe Σ(−1)ᵏ/k konvergiert damit, obwohl Σ1/k divergiert — ein Beispiel für Konvergenz ohne absolute Konvergenz (siehe 11.3).

11.3 Absolute Konvergenz und das Majorantenkriterium

Eine Reihe Σaₖ heißt absolut konvergent, falls Σ|aₖ| konvergiert. Absolute Konvergenz ist eine stärkere Eigenschaft als Konvergenz: Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent (der Beweis nutzt das Cauchy-Kriterium und die Dreiecksungleichung aus Kapitel 8), aber nicht umgekehrt, wie die alternierende harmonische Reihe zeigt.

Das Majorantenkriterium liefert absolute Konvergenz durch Vergleich: Gilt |aₖ| ≤ bₖ für fast alle k und konvergiert Σbₖ, so konvergiert Σaₖ absolut. Umgekehrt liefert das Minorantenkriterium Divergenz: Gilt 0 ≤ bₖ ≤ aₖ für fast alle k und divergiert Σbₖ, so divergiert auch Σaₖ.

11.4 Quotienten- und Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium: Gibt es q < 1 und n₀ mit |a_{k+1}/aₖ| ≤ q für alle k ≥ n₀ (aₖ ≠ 0), so konvergiert Σaₖ absolut. Das Wurzelkriterium: Gibt es q < 1 und n₀ mit ᵏ√|aₖ| ≤ q für alle k ≥ n₀, so konvergiert Σaₖ absolut. Beide Kriterien vergleichen die Reihe implizit mit einer geometrischen Reihe.

Das Wurzelkriterium ist strikt schärfer als das Quotientenkriterium: Immer wenn das Quotientenkriterium eine Aussage liefert, tut es auch das Wurzelkriterium — die Umkehrung gilt nicht. Ein Beispiel ist eine Folge, die auf geraden bzw. ungeraden Indizes durch unterschiedliche Ausdrücke gegeben ist, sodass der Quotient a_{k+1}/aₖ zwischen sehr kleinen und sehr großen Werten hin- und herspringt (das Quotientenkriterium versagt), während limsup ᵏ√|aₖ| < 1 bleibt (das Wurzelkriterium greift). Für Σ1/k und Σ1/k² sind hingegen beide Kriterien unentschieden (der Grenzwert ist jeweils genau 1).

11.5 Exkurs: Das Cauchy-Produkt

Für zwei Folgen (aₙ), (bₙ) heißt die Folge (cₙ) mit cₙ := Σ_{k=0}^{n} aₖ b_{n−k} die Faltung von (aₙ) und (bₙ). Das Cauchy-Produkt zweier Reihen Σaₙ und Σbₙ ist die Reihe Σcₙ. Sind Σaₙ und Σbₙ beide absolut konvergent, so ist auch Σcₙ absolut konvergent, und es gilt Σcₙ = (Σaₙ)(Σbₙ) — die Reihen dürfen also wie endliche Summen 'ausmultipliziert' werden.

Absolute Konvergenz ist dabei essenziell: Für aₙ = bₙ := (−1)ⁿ/√(n+1) (nach Leibniz konvergent, aber nicht absolut konvergent) divergiert das Cauchy-Produkt, da |cₙ| ≥ 1 für alle n gilt und (cₙ) somit keine Nullfolge ist — im Widerspruch zum notwendigen Kriterium aus 11.2. Das Cauchy-Produkt wird in Kapitel 13 verwendet, um die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion und die Identität sin² + cos² = 1 zu beweisen.

12.1 Konvergenzradius und Konvergenzbereich

Eine Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x₀ hat die Form Σ_{n=0}^{∞} aₙ (x − x₀)ⁿ. Es existiert stets ein Konvergenzradius r ∈ [0, ∞], sodass die Reihe für |x − x₀| < r absolut konvergiert und für |x − x₀| > r divergiert. Über das Verhalten auf dem Rand |x − x₀| = r macht der Satz keine allgemeine Aussage — das muss für jede Potenzreihe einzeln (etwa mit dem Leibniz-Kriterium) geprüft werden.

Der Konvergenzradius berechnet sich über das Wurzelkriterium aus Kapitel 11: r = 1/α mit α := limsup ᵏ√|aₖ| (mit den Konventionen r = ∞ falls α = 0, und r = 0 falls α = ∞). Ist der Grenzwert lim |aₙ₊₁/aₙ| direkt berechenbar, liefert auch das Quotientenkriterium den Konvergenzradius als dessen Kehrwert.

12.2 Rechnen mit Potenzreihen: das Produkt

Innerhalb ihres Konvergenzbereichs definiert eine Potenzreihe eine Funktion, die Summenfunktion. Zwei Potenzreihen mit demselben Entwicklungspunkt lassen sich analog zum Cauchy-Produkt aus Kapitel 11 multiplizieren: Für |x − x₀| kleiner als beide Konvergenzradien ist das Produkt der Summenfunktionen wieder durch eine Potenzreihe gegeben, deren Koeffizienten sich als Faltung der ursprünglichen Koeffizientenfolgen ergeben.

Diese Eigenschaft ist entscheidend für Kapitel 13: Die Funktionalgleichung exp(x+y) = exp(x)·exp(y) und die Identität sin²(x) + cos²(x) = 1 werden beide bewiesen, indem man die Potenzreihen von exp bzw. sin, cos multipliziert und die entstehenden Koeffizienten mit der binomischen Formel aus Kapitel 7 vergleicht.

13.1 Die Exponentialfunktion

Aufbauend auf der Eulerschen Zahl e aus Kapitel 9 lässt sich exp(x) auf zwei äquivalente Weisen einführen: einerseits als sup{e^p : p ∈ Q, p ≤ x} (Fortsetzung von rationalen Exponenten auf ganz R), andererseits direkt über die Potenzreihe exp(x) := Σ_{n=0}^{∞} xⁿ/n!, die nach dem Quotientenkriterium (Kapitel 11) für jedes x ∈ R absolut konvergiert.

Mit dem Cauchy-Produkt aus Kapitel 11 zeigt man die Funktionalgleichung exp(x+y) = exp(x) · exp(y) für alle x, y ∈ R. Daraus folgen exp(x) > 0 für alle x (da exp(x) = exp(x/2)² ≥ 0 und exp nirgends verschwindet) sowie exp(−x) = 1/exp(x). Außerdem gilt exp(x) = lim_{n→∞} (1 + x/n)ⁿ — die Verbindung zur ursprünglichen Definition der Eulerschen Zahl.

13.2 Sinus und Kosinus über Potenzreihen

Analog zur Exponentialfunktion definiert man sin(x) := Σ_{n=0}^{∞} (−1)ⁿ x^{2n+1}/(2n+1)! und cos(x) := Σ_{n=0}^{∞} (−1)ⁿ x^{2n}/(2n)! — beide Reihen konvergieren nach dem Quotientenkriterium für jedes x ∈ R absolut. Mit dem Cauchy-Produkt und der binomischen Formel aus Kapitel 7 zeigt man die fundamentale Identität sin²(x) + cos²(x) = 1 für alle x ∈ R.

Aus den Reihendarstellungen liest man außerdem direkt ab, dass sin eine ungerade Funktion ist (sin(−x) = −sin(x), da nur ungerade Potenzen auftreten) und cos eine gerade Funktion (cos(−x) = cos(x)). Die Additionstheoreme sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) und cos(x+y) = cos(x)cos(y) − sin(x)sin(y) lassen sich ebenfalls über das Cauchy-Produkt der jeweiligen Reihen nachweisen.

13.3 Die Kreiszahl π und periodische Funktionen

Rein analytisch, ohne geometrische Vorkenntnisse, definiert man π := 2 · inf{x ≥ 0 : cos(x) = 0} — das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus. Aus dieser Definition und den Additionstheoremen leitet man die vertraute Nullstellen- und Vorzeichentabelle von Sinus und Kosinus her, etwa cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1, cos(π) = −1 und sin(π) = 0.

Eine Funktion f heißt periodisch mit Periode a > 0, falls f(x + a) = f(x) für alle x im Definitionsbereich gilt. Sinus und Kosinus sind periodisch mit (kleinster) Periode 2π — eine Eigenschaft, die sich direkt aus den Additionstheoremen mit x = 2π ergibt und die die spezielle Werte-Tabelle (etwa für π/6, π/4, π/3) erst sinnvoll macht.