Fortführung Analysis & lineare Algebra — Stoff der Semesterklausur (1. Prüfungsteil)

2.1 Konvergenz von Folgen im Rⁿ

Eine Folge (⃗xₖ) von Vektoren im ℝⁿ konvergiert gegen ⃗x ∈ ℝⁿ, wenn ‖⃗xₖ − ⃗x‖ → 0 für k → ∞ gilt, wobei ‖·‖ eine beliebige Norm auf ℝⁿ ist (welche Norm man wählt, ist wegen der Äquivalenz aller Normen auf ℝⁿ — siehe Kapitel 7 — für die Frage der Konvergenz egal). Äquivalent: (⃗xₖ) konvergiert gegen ⃗x = (x1,...,xn) genau dann, wenn jede einzelne Komponentenfolge konvergiert, also (xₖ)ᵢ → xᵢ für jedes i = 1,...,n.

Diese Äquivalenz ist der praktische Kern des Kapitels: Um die Konvergenz einer Vektorfolge zu untersuchen, zerlegt man sie in ihre n reellen Komponentenfolgen und wendet auf jede davon die aus der eindimensionalen Analysis bekannten Grenzwertsätze an.

2.2 Häufungspunkte und Teilfolgen

Ein Punkt ⃗a ∈ ℝⁿ heißt Häufungspunkt einer Folge (⃗xₖ), wenn es eine Teilfolge (⃗x_{kⱼ}) gibt, die gegen ⃗a konvergiert. Eine konvergente Folge hat genau einen Häufungspunkt (ihren Grenzwert); eine divergente Folge kann mehrere — auch unendlich viele — Häufungspunkte besitzen.

Ein nützliches Kriterium für Produktfolgen (⃗xₖ) = ((aₖ, bₖ)): Ist (a,b) ein Häufungspunkt von ((aₖ,bₖ)), so ist a automatisch ein Häufungspunkt von (aₖ) und b ein Häufungspunkt von (bₖ) — die Umkehrung gilt jedoch NICHT: a kann Häufungspunkt von (aₖ) und b Häufungspunkt von (bₖ) sein, ohne dass (a,b) Häufungspunkt der gemeinsamen Folge (aₖ,bₖ) ist (es müssen dieselben Indizes gleichzeitig konvergieren, nicht nur getrennt betrachtet je eine Teilfolge existieren).

3.1 Die Determinante als multilineare alternierende Abbildung

Abstrakt betrachtet ist eine Determinantenform eine Abbildung D: ℝⁿ×...×ℝⁿ (n Faktoren) → ℝ, die in jedem der n Vektor-Argumente linear ist (Multilinearität) und die bei Vertauschung zweier Argumente ihr Vorzeichen wechselt (Alternierende Eigenschaft). Aus diesen beiden Eigenschaften folgen bereits alle vertrauten Rechenregeln: Sind zwei der Argumente linear abhängig (z. B. weil ein Argument ein Vielfaches eines anderen ist oder eine Linearkombination der übrigen), ist D = 0. Addiert man ein Vielfaches eines Arguments zu einem anderen, ändert sich D nicht.

Zwei Determinantenformen D1, D2 auf ℝⁿ unterscheiden sich stets nur um einen konstanten Faktor λ ∈ ℝ: D1(⃗c1,...,⃗cₙ) = λ · D2(⃗c1,...,⃗cₙ) für alle Vektoren. Die (normierte) Determinante det ist diejenige Determinantenform, für die det(⃗e1,...,⃗eₙ) = 1 gilt (Einheitsvektoren liefern 1); jede andere Determinantenform ist ein festes Vielfaches von det.

3.2 Berechnung: Laplace-Entwicklung und Permutationen

In der Praxis berechnet man Determinanten meist über die Laplace-Entwicklung (Entwicklungssatz): Man entwickelt nach einer Zeile oder Spalte, wobei jeder Eintrag mit seinem Vorzeichen-behafteten Minor (Determinante der um diese Zeile/Spalte reduzierten Matrix) multipliziert wird. Die Entwicklung nach einer Zeile/Spalte mit vielen Nullen spart am meisten Rechenaufwand.

Alternativ lässt sich die Determinante über eine Summe von n! Termen definieren, die über alle Permutationen π der Zahlen 1,...,n läuft, jeweils gewichtet mit dem Signum sgn(π) der Permutation (+1 für eine gerade, −1 für eine ungerade Anzahl von Vertauschungen/Fehlständen). Für Dreiecksmatrizen (obere oder untere) ist die Determinante besonders einfach: Sie ist gerade das Produkt der Diagonaleinträge, da alle anderen Permutationen einen Nullfaktor enthalten.

Für 2×2- und 3×3-Matrizen gibt es mit der Regel von Sarrus eine direkte Merkregel, die ohne Laplace-Entwicklung auskommt: Man schreibt die ersten beiden Spalten der Matrix rechts noch einmal an und summiert die drei Produkte entlang der Hauptdiagonalen, abzüglich der drei Produkte entlang der Nebendiagonalen. Wichtig: Diese Regel funktioniert NUR für 2×2 und 3×3 — für 4×4-Matrizen und größer liefert ein analoges Diagonalschema ein falsches Ergebnis, dort bleibt nur Laplace-Entwicklung oder die Permutationsformel.

3.3 Rechenregeln für Determinanten

Für quadratische Matrizen A, B derselben Größe n×n und einen Skalar c gelten folgende Rechenregeln, die sich direkt aus der Multilinearität ergeben: det(AB) = det(A)·det(B) (Multiplikationssatz), det(cA) = cⁿ·det(A) (jede der n Zeilen wird mit c skaliert), und für invertierbares A gilt det(A⁻¹) = 1/det(A). Eine Matrix ist genau dann invertierbar (regulär), wenn det(A) ≠ 0 gilt; ist det(A) = 0, heißt A singulär.

Elementare Zeilenoperationen wirken auf die Determinante wie folgt: Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen ändert die Determinante nicht; Multiplikation einer Zeile mit c ≠ 0 multipliziert die Determinante mit c; Vertauschen zweier Zeilen multipliziert die Determinante mit −1. Diese Regeln erlauben es, eine Determinante durch Umformen auf Dreiecksform zu berechnen, ohne die komplette Laplace-Entwicklung durchzuführen. Auch für Blockdreiecks- bzw. Blockdiagonalmatrizen [[A,0],[0,B]] mit quadratischen Blöcken A, B gilt die praktische Regel det = det(A)·det(B).

4.1 Basisdarstellung linearer Abbildungen

Ist f: V → W linear und sind A = {⃗a1,...,⃗aₙ} eine Basis von V sowie B = {⃗b1,...,⃗bₘ} eine Basis von W, so ist die Darstellungsmatrix M_{B,A}(f) diejenige Matrix, deren j-te Spalte die Koordinaten von f(⃗aⱼ) bezüglich der Basis B enthält. Um f(⃗x) für einen beliebigen Vektor ⃗x zu berechnen, stellt man zunächst ⃗x als Linearkombination der Basis A dar (⃗x = Σ λⱼ⃗aⱼ), wendet dann M_{B,A}(f) auf den Koordinatenvektor (λ1,...,λₙ) an und deutet das Ergebnis als Koordinaten bezüglich B.

Besonders wichtig: Sind A und B die Standardbasen von ℝⁿ bzw. ℝᵐ, stimmt die Darstellungsmatrix mit der 'gewöhnlichen' Matrix von f überein, deren Spalten die Bilder f(⃗e1),...,f(⃗eₙ) der Standard-Einheitsvektoren sind.

4.2 Basiswechsel und Transformationsmatrizen

Sind B = {⃗e1,...,⃗eₙ} die Standardbasis und B̃ = {⃗v1,...,⃗vₙ} eine weitere Basis von ℝⁿ, so bildet die Matrix V, deren Spalten gerade die Vektoren ⃗v1,...,⃗vₙ sind, die Koordinaten bezüglich B̃ auf die Standardkoordinaten ab: ⃗x = V · (Koordinaten von ⃗x bzgl. B̃). Um umgekehrt zu den Koordinaten bezüglich B̃ zu gelangen, invertiert man: (Koordinaten bzgl. B̃) = V⁻¹ · ⃗x. Die Transformationsmatrix des Basiswechsels von B nach B̃ ist also gerade V⁻¹.

Dieses Prinzip verallgemeinert sich auf den Wechsel zwischen zwei beliebigen (nicht notwendig Standard-)Basen: Man drückt zunächst beide Basen durch die Standardbasis aus und verkettet die entsprechenden Umrechnungsmatrizen.

4.3 Kern, Bild und die Dimensionsformel

Für eine lineare Abbildung f: V → W ist der Kern Kern(f) = {⃗x ∈ V : f(⃗x) = ⃗0} ein Untervektorraum von V, und das Bild Bild(f) = {f(⃗x) : ⃗x ∈ V} ist ein Untervektorraum von W. Der Rang Rang(f) := dim(Bild(f)) misst, wie viele Dimensionen des Bildraums tatsächlich 'getroffen' werden.

Die Dimensionsformel (Rangsatz) verknüpft beide Größen: dim(V) = Rang(f) + dim(Kern(f)). Ist f durch eine Matrix A bezüglich fester Basen dargestellt, berechnet man Kern(f) als Kern(A) (Lösungsmenge des homogenen LGS A·⃗x=⃗0) und Rang(f) als Rang(A) (Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten von A).

5.1 Charakteristisches Polynom und Eigenwerte

Ein Skalar λ (reell oder komplex) heißt Eigenwert der quadratischen Matrix A, wenn ein Vektor ⃗v ≠ ⃗0 existiert mit A⃗v = λ⃗v; ⃗v heißt dann Eigenvektor zum Eigenwert λ. Diese Bedingung ist äquivalent zu (A − λE)⃗v = ⃗0 mit ⃗v ≠ ⃗0, was wiederum genau dann eine nichttriviale Lösung besitzt, wenn det(A − λE) = 0 gilt. Das charakteristische Polynom PA(λ) := det(A − λE) ist ein Polynom vom Grad n (bei einer n×n-Matrix); seine Nullstellen sind genau die Eigenwerte von A.

Auch bei einer reellen Matrix können komplexe Eigenwerte auftreten — dann treten sie stets in konjugiert komplexen Paaren auf, da das charakteristische Polynom reelle Koeffizienten hat. Für Dreiecks- und Blockdreiecksmatrizen lassen sich die Eigenwerte oft direkt ablesen bzw. aus den Eigenwerten der Blöcke zusammensetzen, da das charakteristische Polynom in ein Produkt der charakteristischen Polynome der Blöcke zerfällt.

Aus A⃗v=λ⃗v folgen unmittelbar weitere Eigenwert-Beziehungen zum selben Eigenvektor ⃗v: Wendet man A wiederholt an, ergibt sich Aᵏ⃗v = λᵏ⃗v für jedes k∈ℕ — ⃗v ist also auch Eigenvektor von Aᵏ, und zwar zum Eigenwert λᵏ. Ist A zusätzlich invertierbar (äquivalent: kein Eigenwert ist 0), gilt A⁻¹⃗v = (1/λ)⃗v, sodass 1/λ ein Eigenwert von A⁻¹ zum selben Eigenvektor ⃗v ist. Zusätzlich gilt det(A) = λ1·...·λₙ (Produkt aller Eigenwerte, mit algebraischer Vielfachheit gezählt) und Spur(A) = λ1+...+λₙ (Summe aller Eigenwerte) — beides folgt aus der Zerlegung des charakteristischen Polynoms in Linearfaktoren.

5.2 Eigenräume und Vielfachheiten

Der Eigenraum Eig(A;λ) := Kern(A−λE) = {⃗v : A⃗v=λ⃗v} zu einem Eigenwert λ ist ein Untervektorraum (der Nullvektor löst die Gleichung trivial, und Summen sowie Vielfache von Eigenvektoren zum selben λ sind wieder Eigenvektoren zu λ oder der Nullvektor). Die algebraische Vielfachheit von λ ist die Vielfachheit von λ als Nullstelle des charakteristischen Polynoms; die geometrische Vielfachheit ist dim(Eig(A;λ)).

Es gilt stets 1 ≤ geometrische Vielfachheit ≤ algebraische Vielfachheit. Stimmen für einen Eigenwert beide Vielfachheiten NICHT überein, spricht man von einer defekten Matrix bezüglich dieses Eigenwerts — ein Symptom dafür, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist (siehe 5.3).

5.3 Diagonalisierbarkeit

Eine n×n-Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S und eine Diagonalmatrix D gibt mit S⁻¹AS = D. Die Spalten von S sind dann eine Basis des ℝⁿ (bzw. ℂⁿ) aus Eigenvektoren von A, und die Diagonaleinträge von D sind die zugehörigen Eigenwerte (in derselben Reihenfolge wie die Eigenvektor-Spalten in S).

A ist genau dann diagonalisierbar, wenn für JEDEN Eigenwert algebraische und geometrische Vielfachheit übereinstimmen (äquivalent: wenn die Summe der geometrischen Vielfachheiten aller Eigenwerte gleich n ist). Ein hinreichendes — aber nicht notwendiges — Kriterium: Hat A n paarweise verschiedene Eigenwerte, ist A automatisch diagonalisierbar, da dann jede algebraische Vielfachheit gleich 1 ist und die geometrische Vielfachheit (mindestens 1, höchstens die algebraische) somit ebenfalls 1 sein muss.

6.1 Quadratische Formen und Definitheit

Zu einer symmetrischen n×n-Matrix C gehört die quadratische Form q(⃗x) := ⃗xᵀC⃗x = Σᵢⱼ cᵢⱼxᵢxⱼ. C heißt positiv definit, wenn q(⃗x) > 0 für alle ⃗x ≠ ⃗0 gilt, positiv semidefinit, wenn q(⃗x) ≥ 0 für alle ⃗x gilt, und analog negativ definit/semidefinit mit umgekehrten Ungleichungen. Nimmt q sowohl positive als auch negative Werte an, heißt C indefinit.

Definitheit lässt sich äquivalent über die Eigenwerte von C charakterisieren (Eigenwertkriterium, siehe 6.2): C ist positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte von C positiv sind, negativ definit, wenn alle negativ sind, und indefinit, wenn C sowohl positive als auch negative Eigenwerte besitzt.

6.2 Kriterien für Definitheit

Neben dem Eigenwertkriterium (alle Eigenwerte positiv ⟺ positiv definit, usw.) gibt es das Hauptminoren-Kriterium (Sylvester-Kriterium): C ist genau dann positiv definit, wenn alle führenden Hauptminoren (die Determinanten der oberen linken k×k-Teilmatrizen für k=1,...,n) positiv sind. Für negative Definitheit müssen die Hauptminoren alternierende Vorzeichen haben, beginnend mit negativ (d1<0, d2>0, d3<0, ...).

Ist mindestens ein führender Hauptminor negativ, ohne dass das alternierende Muster für negative Definitheit erfüllt ist, ist C weder positiv noch negativ definit — es bleiben Indefinitheit oder Semidefinitheit als Möglichkeiten, und das Eigenwertkriterium entscheidet endgültig. Wichtige Einschränkung: Für Semidefinitheit reicht das Kriterium der FÜHRENDEN Hauptminoren (d1,...,dₙ) allein nicht aus — nicht-negative führende Hauptminoren schließen Indefinitheit NICHT sicher aus. Positive Semidefinitheit gilt nur dann, wenn ausnahmslos ALLE Hauptunterdeterminanten (nicht nur die linksbündigen, sondern die Determinante jeder Teilmatrix, die durch Streichen derselben Zeilen- und Spaltenindizes entsteht) nicht-negativ sind. In der Praxis ist es deshalb meist einfacher, bei einem Verdacht auf Semidefinitheit direkt das Eigenwertkriterium zu verwenden, statt alle Hauptunterdeterminanten einzeln zu prüfen.

7.1 Normen und Normäquivalenz

Eine Norm ‖·‖: ℝⁿ → [0,∞) ist eine Abbildung mit drei Eigenschaften: Definitheit (‖⃗x‖=0 ⟺ ⃗x=⃗0), Homogenität (‖λ⃗x‖=|λ|·‖⃗x‖ für λ∈ℝ) und Dreiecksungleichung (‖⃗x+⃗y‖ ≤ ‖⃗x‖+‖⃗y‖). Die gebräuchlichsten Normen auf ℝⁿ sind die 1-Norm ‖⃗x‖1=Σ|xᵢ|, die euklidische Norm ‖⃗x‖2=√(Σxᵢ²) und die Maximumsnorm ‖⃗x‖∞=max|xᵢ|.

Ein zentraler Satz besagt: Alle Normen auf ℝⁿ sind äquivalent — zu je zwei Normen ‖·‖, ‖·‖' gibt es Konstanten c,C>0 mit c‖⃗x‖ ≤ ‖⃗x‖' ≤ C‖⃗x‖ für alle ⃗x. Das hat wichtige Konsequenzen: Konvergenz einer Folge hängt nicht von der gewählten Norm ab (Kapitel 2). Speziell für Normen, die selbst als Maximum der Beträge mehrerer Linearkombinationen der Koordinaten definiert sind — also von der Form ‖⃗x‖ := max{|⃗a1ᵀ⃗x|,...,|⃗aₖᵀ⃗x|} für feste Vektoren ⃗a1,...,⃗aₖ —, lässt sich das kompakt als ‖⃗x‖ = ‖A⃗x‖∞ schreiben: Man wählt die Zeilen von A gerade als die Vektoren ⃗a1,...,⃗aₖ, dann liefert ‖A⃗x‖∞ automatisch das Maximum der Beträge dieser Linearkombinationen.

Anschaulich unterscheiden sich Normen auch in der Form ihres Einheitskreises (bzw. im ℝ³ ihrer Einheitssphäre) — der Menge {⃗x : ‖⃗x‖=1} aller Vektoren mit Norm genau 1. Für ‖·‖1 ist das im ℝ² eine Raute mit Eckpunkten (±1,0) und (0,±1), für ‖·‖2 ein gewöhnlicher Kreis mit Radius 1, und für ‖·‖∞ ein achsenparalleles Quadrat mit Eckpunkten (±1,±1). Diese unterschiedliche 'Ausdehnung' bei gleichem Radius 1 erklärt anschaulich die Ungleichungskette ‖⃗x‖∞ ≤ ‖⃗x‖2 ≤ ‖⃗x‖1 aus dem Beispiel unten: Je kleiner der Einheitskreis einer Norm ausfällt, desto größer werden ihre Normwerte für denselben Vektor.

Jede Norm ‖·‖ auf ℝⁿ induziert außerdem eine Metrik (einen Abstandsbegriff) über d(⃗x,⃗y) := ‖⃗x−⃗y‖ — eine Abbildung d: ℝⁿ×ℝⁿ→[0,∞) mit d(⃗x,⃗y)=0 ⟺ ⃗x=⃗y, Symmetrie d(⃗x,⃗y)=d(⃗y,⃗x) und der Dreiecksungleichung d(⃗x,⃗z) ≤ d(⃗x,⃗y)+d(⃗y,⃗z). Nicht jede Metrik stammt allerdings von einer Norm — Metriken sind der allgemeinere Begriff.

7.2 Skalarprodukte und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Ein Skalarprodukt ⟨·,·⟩ auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung V×V→ℝ, die symmetrisch (⟨⃗x,⃗y⟩=⟨⃗y,⃗x⟩), linear im ersten Argument und positiv definit ist (⟨⃗x,⃗x⟩>0 für ⃗x≠⃗0). Das Standardskalarprodukt auf ℝⁿ ist ⟨⃗x,⃗y⟩ = Σxᵢyᵢ = ⃗xᵀ⃗y; es induziert die euklidische Norm über ‖⃗x‖2 = √⟨⃗x,⃗x⟩. Es gibt aber auch andere, 'exotischere' Skalarprodukte — etwa gewichtete Varianten ⟨⃗x,⃗y⟩ := ⃗xᵀA⃗y für eine positiv definite Matrix A —, deren Axiome man im Einzelfall nachweisen muss.

Für jedes Skalarprodukt gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |⟨⃗x,⃗y⟩| ≤ ‖⃗x‖·‖⃗y‖ mit Gleichheit genau dann, wenn ⃗x und ⃗y linear abhängig sind. Sie ist das wichtigste Hilfsmittel, um Ungleichungen mit Skalarprodukten zu beweisen, und garantiert insbesondere, dass der 'Winkel' cos(φ) = ⟨⃗x,⃗y⟩/(‖⃗x‖‖⃗y‖) stets im Intervall [−1,1] liegt.

Das Konzept 'Skalarprodukt' ist nicht auf ℝⁿ beschränkt — dieselben drei Axiome (Symmetrie, Linearität, positive Definitheit) lassen sich auf ganz anderen Vektorräumen definieren, nur der zugrunde liegende Raum wechselt. Auf dem Raum C[a,b] der stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b] ist ⟨f,g⟩ := ∫ₐᵇ f(t)g(t) dt ein Skalarprodukt (das L²-Skalarprodukt): Symmetrie und Linearität folgen aus den Rechenregeln des Integrals, und ⟨f,f⟩=∫ₐᵇf(t)²dt ist nur dann 0, wenn f auf [a,b] überall 0 ist. Auf dem Raum der m×n-Matrizen ist ⟨A,B⟩ := Spur(AᵀB) ein Skalarprodukt (das Frobenius-Skalarprodukt); es entspricht genau dem Standardskalarprodukt der Einträge, wenn man jede Matrix spaltenweise zu einem langen Vektor auffasst.

7.3 Orthogonalität, Gram-Schmidt-Verfahren und Projektionen

Zwei Vektoren ⃗x, ⃗y heißen orthogonal, wenn ⟨⃗x,⃗y⟩=0 gilt. Eine Orthonormalbasis (ONB) ist eine Basis aus paarweise orthogonalen Vektoren der Länge 1. Aus einer beliebigen Basis {⃗v1,...,⃗vₖ} eines Untervektorraums lässt sich mit dem Gram-Schmidt-Verfahren eine ONB konstruieren: Man normiert ⃗v1 zu ⃗u1, zieht von ⃗v2 die Projektion auf ⃗u1 ab und normiert den Rest zu ⃗u2, und verfährt iterativ so weiter — bei jedem Schritt wird von ⃗vⱼ die Projektion auf alle bereits konstruierten ⃗u1,...,⃗u_{j-1} abgezogen, bevor normiert wird.

Die orthogonale Projektion eines Vektors ⃗c auf einen Untervektorraum U mit Orthonormalbasis {⃗u1,...,⃗uₖ} ist P_U(⃗c) = Σⱼ ⟨⃗uⱼ,⃗c⟩·⃗uⱼ. Der Abstand von ⃗c zu U ist dann d(⃗c,U) = ‖⃗c − P_U(⃗c)‖ — dies ist zugleich der kürzeste Abstand von ⃗c zu irgendeinem Punkt in U.

Diese Formel setzt voraus, dass U ein Untervektorraum ist, also den Ursprung enthält. Soll stattdessen auf eine Gerade g = ⃗x0 + span{⃗v} projiziert werden, die NICHT durch den Ursprung verläuft (ein affiner statt linearer Unterraum), verschiebt man zunächst um ⃗x0: Man projiziert den Differenzvektor ⃗c−⃗x0 auf den linearen Unterraum span{⃗v} und addiert ⃗x0 wieder zurück: P_g(⃗c) = ⃗x0 + P_{span{⃗v}}(⃗c−⃗x0). Der Abstand d(⃗c,g) = ‖⃗c−P_g(⃗c)‖ berechnet sich danach wie gewohnt.

8.1 Grenzwerte und Stetigkeit im Rⁿ

Eine Funktion f: D ⊆ ℝⁿ → ℝ hat im Punkt ⃗x0 den Grenzwert L, geschrieben lim_{⃗x→⃗x0} f(⃗x) = L, wenn für JEDE Folge (⃗xₖ) in D\{⃗x0} mit ⃗xₖ→⃗x0 auch f(⃗xₖ)→L gilt (Folgenkriterium). f heißt stetig in ⃗x0 ∈ D, wenn lim_{⃗x→⃗x0} f(⃗x) = f(⃗x0) gilt. Anders als im Eindimensionalen, wo man den Grenzwert nur von links und von rechts prüfen muss, gibt es im ℝⁿ unendlich viele Annäherungsrichtungen — der Grenzwert muss für ALLE gleich ausfallen.

Praktisch nützlich: Summen, Produkte, Quotienten (im Nenner ≠0) und Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig — dieselben Regeln wie im Eindimensionalen gelten also komponentenweise fort. Kritisch wird es nur an 'Ausnahmepunkten' (meist dort, wo ein Bruch formal 0/0 ergibt), an denen man den Grenzwert explizit untersuchen muss.

Gleichwertig zum Folgenkriterium lässt sich Stetigkeit auch über ein ε-δ-Kriterium fassen, ohne Folgen zu benutzen: f ist stetig in ⃗x0, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, sodass für alle ⃗x∈D mit ‖⃗x−⃗x0‖<δ stets |f(⃗x)−f(⃗x0)|<ε gilt. Anschaulich: Egal wie klein die erlaubte Abweichung ε im Funktionswert vorgegeben wird, lässt sich stets eine (eventuell sehr kleine) Umgebung um ⃗x0 finden, innerhalb derer f garantiert nicht mehr als ε von f(⃗x0) abweicht. Welches der beiden gleichwertigen Kriterien man verwendet, ist reine Geschmackssache — das Folgenkriterium eignet sich meist besser, um Unstetigkeit über zwei verschiedene Wege zu widerlegen (siehe 8.2), das ε-δ-Kriterium oft besser für direkte Beweise.

8.2 Nachweis von Unstetigkeit und stetige Fortsetzung

Um zu zeigen, dass eine Funktion in einem Punkt NICHT stetig ist, genügt es, zwei verschiedene Wege (Folgen) zu finden, entlang derer sich unterschiedliche Grenzwerte ergeben. Ein Standardtrick: Man nähert sich entlang von Geraden y = mx (für verschiedene Steigungen m) an und prüft, ob der resultierende Grenzwert von m abhängt.

Manchmal lässt sich eine zunächst nur auf D\{⃗x0} definierte Funktion durch geeignete Wahl von f(⃗x0) stetig fortsetzen — nämlich genau dann, wenn der Grenzwert lim_{⃗x→⃗x0} f(⃗x) existiert (unabhängig vom Weg). Existiert dieser Grenzwert nicht (weil verschiedene Wege verschiedene Werte liefern), ist keine stetige Fortsetzung möglich, egal welchen Wert man f(⃗x0) zuweist.

9.1 Höhenlinien und Niveaumengen

Für eine Funktion f: ℝⁿ→ℝ ist die Höhenlinie (Niveaumenge) zum Niveau η die Menge Hf(η) := f⁻¹({η}) = {⃗x∈ℝⁿ : f(⃗x)=η} — alle Punkte, an denen f denselben Wert η annimmt. Für n=2 sind das gewöhnlich Kurven in der Ebene (daher der Name, wie bei Höhenlinien auf einer Landkarte); für n=3 spricht man von Niveauflächen.

Höhenlinien und der Gradient (9.2) hängen eng zusammen: An jedem Punkt ⃗x steht ∇f(⃗x) senkrecht auf der durch ⃗x verlaufenden Höhenlinie. Das ist plausibel, weil sich f entlang einer Höhenlinie per Definition nicht ändert — die Richtungsableitung tangential zur Höhenlinie ist also 0 —, während der Gradient gerade die Richtung des steilsten Anstiegs angibt, senkrecht zu jeder Richtung, in der sich nichts ändert.

9.2 Gradient und Richtungsableitung

Für eine partiell differenzierbare Funktion f: ℝⁿ→ℝ ist der Gradient ∇f(⃗x) = (∂f/∂x1,...,∂f/∂xₙ) der Vektor aller partiellen Ableitungen. Ist f total differenzierbar, lässt sich die Richtungsableitung in Richtung eines Einheitsvektors ⃗w (‖⃗w‖=1) als Skalarprodukt berechnen: ∂f/∂⃗w (⃗x) = ⟨∇f(⃗x), ⃗w⟩.

Der Gradient zeigt stets in die Richtung des steilsten Anstiegs von f, und sein Betrag ‖∇f(⃗x)‖ ist genau die maximale Richtungsableitung an dieser Stelle; in die Gegenrichtung −∇f(⃗x)/‖∇f(⃗x)‖ nimmt f am steilsten ab.

9.3 Tangentialebene

Ist f: ℝ²→ℝ total differenzierbar im Punkt (x0,y0), so ist die Tangentialebene an den Graphen von f in diesem Punkt gegeben durch z = f(x0,y0) + ⟨∇f(x0,y0), (x−x0, y−y0)⟩ — die beste lineare (affine) Näherung von f in der Nähe von (x0,y0). Sie verallgemeinert die Tangente einer Kurve auf den zweidimensionalen Fall.