Mehrdimensionale Funktionen & Fortführung — Stoff der Abschlussklausur (2. Prüfungsteil)

2.1 Richtungsableitungen

Die Richtungsableitung D_v f(x) misst die Änderungsrate von f am Punkt x in Richtung eines (normierten) Vektors v: D_v f(x) = lim(h→0) [f(x+hv)−f(x)]/h. Für differenzierbare Funktionen lässt sich die Richtungsableitung direkt über den Gradienten berechnen: D_v f(x) = ∇f(x)·v (Skalarprodukt).

Partielle Ableitungen sind der Spezialfall, bei dem v ein Einheitsvektor entlang einer Koordinatenachse ist (z. B. v=(1,0) für die partielle Ableitung nach x₁) — Richtungsableitungen verallgemeinern dieses Konzept auf beliebige Richtungen.

2.2 Der Gradient als Richtung des steilsten Anstiegs

Da D_v f(x) = ∇f(x)·v = |∇f(x)|·|v|·cos(θ) (mit θ als Winkel zwischen ∇f und v), wird D_v f maximal, wenn cos(θ)=1, also wenn v genau in Richtung des Gradienten zeigt. Der Gradient zeigt somit exakt in die Richtung des stärksten lokalen Anstiegs der Funktion, und sein Betrag |∇f(x)| gibt die Steilheit dieses Anstiegs an.

Diese Eigenschaft macht den Gradienten zum zentralen Werkzeug numerischer Optimierungsverfahren: Der Gradientenabstieg bewegt sich schrittweise in Richtung −∇f (steilster Abstieg), um ein lokales Minimum einer Funktion zu finden.

3.1 Totale Differenzierbarkeit

Eine Funktion f heißt total differenzierbar in x₀, wenn sie sich dort durch eine LINEARE Abbildung approximieren lässt: f(x₀+h) = f(x₀) + ∇f(x₀)·h + o(|h|), wobei der Fehlerterm o(|h|) schneller gegen 0 geht als |h| selbst. Diese Bedingung ist stärker als bloße partielle Differenzierbarkeit, da sie eine gute lineare Approximation aus JEDER Richtung gleichzeitig verlangt.

Ein hinreichendes (nicht notwendiges) Kriterium: Sind alle partiellen Ableitungen in einer Umgebung von x₀ stetig, so ist f dort total differenzierbar. Dieses Kriterium ist in der Praxis meist einfacher zu prüfen als die Definition direkt.

3.2 Die Tangentialebene

Ist f: ℝ²→ℝ total differenzierbar in (x₀,y₀), beschreibt z = f(x₀,y₀) + ∂f/∂x(x₀,y₀)·(x−x₀) + ∂f/∂y(x₀,y₀)·(y−y₀) die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) — das mehrdimensionale Analogon zur Tangente einer Kurve.

Diese Tangentialebene liefert die beste lineare Näherung von f in der Nähe von (x₀,y₀) und wird praktisch genutzt, um Funktionswerte in der Nähe eines bekannten Punktes ohne exakte Berechnung abzuschätzen.

3.3 Der Mittelwertsatz im ℝⁿ

Der Mittelwertsatz aus der eindimensionalen Analysis (f(b)−f(a)=f'(ξ)(b−a) für ein ξ zwischen a und b) überträgt sich auf Funktionen mehrerer Veränderlicher: Ist f: ℝⁿ→ℝ differenzierbar auf einer offenen Menge, die die Verbindungsstrecke zwischen zwei Punkten x und y vollständig enthält, so existiert ein Punkt ξ auf dieser Strecke (ξ = x + t(y−x) für ein t∈(0,1)) mit f(y)−f(x) = ∇f(ξ)·(y−x).

Der Beweis führt den mehrdimensionalen Fall auf den eindimensionalen zurück: Man betrachtet die Hilfsfunktion φ(t) := f(x+t(y−x)) für t∈[0,1] — eine gewöhnliche Funktion einer Variablen —, wendet auf φ den bekannten eindimensionalen Mittelwertsatz an, und übersetzt das Ergebnis mit der Kettenregel zurück, da φ'(t) = ∇f(x+t(y−x))·(y−x) gilt.

Eine wichtige direkte Folgerung: Verschwindet der Gradient einer differenzierbaren Funktion auf einer zusammenhängenden offenen Menge überall, so ist die Funktion dort konstant — denn für je zwei Punkte x,y liefert der Mittelwertsatz f(y)−f(x)=∇f(ξ)·(y−x)=0·(y−x)=0, also f(x)=f(y).

4.1 Vektorwertige Funktionen und die Jacobi-Matrix

Eine Funktion F: ℝⁿ→ℝᵐ ordnet jedem Punkt einen ganzen Vektor von m Werten zu. Ihre Ableitung fasst man in der Jacobi-Matrix zusammen: eine m×n-Matrix, deren Eintrag in Zeile i, Spalte j die partielle Ableitung ∂Fᵢ/∂xⱼ ist. Für m=1 reduziert sich die Jacobi-Matrix auf den (transponierten) Gradienten.

Die Jacobi-Matrix liefert die lokale lineare Approximation von F: F(x₀+h) ≈ F(x₀) + J_F(x₀)·h, wobei J_F(x₀)·h eine gewöhnliche Matrix-Vektor-Multiplikation ist.

4.2 Die mehrdimensionale Kettenregel

Ist h = g∘f eine Verkettung differenzierbarer Funktionen (f: ℝⁿ→ℝᵐ, g: ℝᵐ→ℝᵏ), so gilt für die Jacobi-Matrix der Verkettung: J_h(x) = J_g(f(x)) · J_f(x) — die Kettenregel wird zur Matrixmultiplikation der einzelnen Jacobi-Matrizen.

Ein wichtiger Spezialfall: Ist z=f(x,y) mit x=x(t), y=y(t) (beide Variablen hängen von einem gemeinsamen Parameter t ab), so gilt dz/dt = ∂f/∂x·dx/dt + ∂f/∂y·dy/dt — die Summenregel entlang aller Pfade, über die t die Funktion f beeinflusst.

4.3 Implizite Funktionen

Der Satz über implizite Funktionen besagt: Ist F(x,y)=0 mit ∂F/∂y ≠ 0 an einem Punkt (x₀,y₀), so lässt sich y lokal um diesen Punkt als differenzierbare Funktion y=g(x) von x auffassen, auch wenn keine explizite Auflösung nach y möglich ist. Die Ableitung dieser impliziten Funktion lässt sich ohne explizite Auflösung berechnen: dy/dx = −(∂F/∂x)/(∂F/∂y).

Dieser Satz ist praktisch bedeutsam, wenn Gleichungen nicht explizit nach einer Variablen auflösbar sind (z. B. bei impliziten Kurven wie x²+y³−xy=1), man aber dennoch lokale Änderungsraten bestimmen möchte.

5.1 Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Zweite partielle Ableitungen entstehen durch nochmaliges partielles Ableiten: ∂²f/∂x∂y bedeutet, zuerst nach y, dann nach x abzuleiten (bzw. je nach Konvention andersherum). Da es bei n Variablen mehrere gemischte zweite Ableitungen gibt, stellt sich die Frage, ob die Reihenfolge des Ableitens das Ergebnis beeinflusst.

Der Satz von Schwarz beantwortet dies: Sind die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion in einer Umgebung stetig, so sind gemischte partielle Ableitungen unabhängig von der Reihenfolge: ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x. Dies vereinfacht Berechnungen erheblich, da man die günstigere Ableitungsreihenfolge wählen kann.

5.2 Die Hessematrix

Die Hessematrix H_f(x) fasst alle zweiten partiellen Ableitungen zu einer symmetrischen n×n-Matrix zusammen (Symmetrie folgt aus dem Satz von Schwarz bei stetigen zweiten Ableitungen): Hᵢⱼ = ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ. Sie ist das mehrdimensionale Analogon zur zweiten Ableitung und beschreibt die lokale Krümmung von f.

Die Hessematrix ist zentral für die Klassifikation kritischer Punkte (Kapitel 6) und für die quadratische Approximation im Taylorpolynom zweiter Ordnung.

5.3 Das Taylorpolynom zweiter Ordnung

Das Taylorpolynom zweiter Ordnung erweitert die Tangentialebene (lineare Approximation) um einen quadratischen Term: f(x₀+h) ≈ f(x₀) + ∇f(x₀)·h + ½hᵀH_f(x₀)h. Dieser quadratische Term erfasst die Krümmung der Funktion und liefert eine deutlich genauere lokale Näherung als die reine Tangentialebene.

Ist ∇f(x₀)=0 (ein kritischer Punkt), reduziert sich die Approximation auf f(x₀) + ½hᵀH_f(x₀)h — das Vorzeichenverhalten dieses quadratischen Terms (bestimmt durch die Definitheit der Hessematrix) entscheidet über die Art des kritischen Punkts, wie im nächsten Kapitel gezeigt wird.

6.1 Kritische Punkte

Ein Punkt x₀ heißt kritisch, wenn ∇f(x₀)=0 gilt — alle partiellen Ableitungen verschwinden gleichzeitig. Dies ist eine notwendige (nicht hinreichende) Bedingung für ein lokales Extremum: Jedes lokale Maximum oder Minimum im Inneren des Definitionsbereichs einer differenzierbaren Funktion muss ein kritischer Punkt sein, aber nicht jeder kritische Punkt ist ein Extremum.

Kritische Punkte, die weder Maximum noch Minimum sind, heißen Sattelpunkte: Die Funktion steigt in manche Richtungen an und fällt in andere Richtungen ab, während der Gradient dennoch verschwindet.

6.2 Definitheit der Hessematrix

Um kritische Punkte zu klassifizieren, untersucht man die Definitheit der Hessematrix H_f(x₀): Ist H_f(x₀) positiv definit (alle Eigenwerte positiv), liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit (alle Eigenwerte negativ), liegt ein lokales Maximum vor; besitzt sie sowohl positive als auch negative Eigenwerte (indefinit), liegt ein Sattelpunkt vor.

Für n=2 lässt sich die Definitheit einfach über die Determinante und einen Diagonaleintrag prüfen: ist det(H_f)>0 und Hₓₓ>0, liegt ein Minimum vor; ist det(H_f)>0 und Hₓₓ<0, liegt ein Maximum vor; ist det(H_f)<0, liegt ein Sattelpunkt vor. Bei det(H_f)=0 ist keine Aussage über dieses Kriterium möglich.

6.3 Extrema unter Nebenbedingungen: Lagrange-Multiplikatoren

Soll f(x,y) unter einer Nebenbedingung g(x,y)=c maximiert/minimiert werden, hilft die Methode der Lagrange-Multiplikatoren: Man löst das Gleichungssystem ∇f(x,y) = λ·∇g(x,y) zusammen mit g(x,y)=c. Die geometrische Idee: An einem Extremum unter Nebenbedingung müssen die Höhenlinien von f und die Nebenbedingungskurve tangential sein — genau dann sind ihre Gradienten parallel (proportional über λ).

Diese Methode ist in der Wirtschaftswissenschaft besonders wichtig für Optimierungsprobleme unter Budgetrestriktionen (z. B. Nutzenmaximierung unter einer Budgetgeraden, siehe VWL-Module) und verallgemeinert direkt auf mehrere Nebenbedingungen mit mehreren Multiplikatoren.

7.1 Der Jordan-Inhalt

Der Jordan-Inhalt verallgemeinert den Flächen-/Volumenbegriff auf beliebige Teilmengen des ℝⁿ. Eine Menge M wird von innen durch Vereinigungen achsenparalleler Quader approximiert (innerer Jordan-Inhalt) und von außen ebenso (äußerer Jordan-Inhalt); stimmen beide Werte überein, heißt M Jordan-messbar mit Jordan-Inhalt gleich diesem gemeinsamen Wert.

Nicht jede Menge ist Jordan-messbar: Mengen mit sehr 'ausgefranstem' Rand (z. B. die rationalen Zahlen im Einheitsintervall) können einen inneren Jordan-Inhalt von 0 und einen äußeren von 1 besitzen und sind somit nicht Jordan-messbar.

Der Jordan-Inhalt hat zwei Eigenschaften, die ihn erst praktisch nutzbar machen: Additivität und Monotonie. Additivität besagt: Sind M₁, M₂ Jordan-messbar und überlappen sie sich höchstens in einer Nullmenge (|M₁∩M₂|=0, z. B. einer gemeinsamen Kante), so ist auch M₁∪M₂ Jordan-messbar mit |M₁∪M₂| = |M₁|+|M₂| — der Inhalt addiert sich, ohne die Überlappung doppelt zu zählen. Monotonie besagt: Ist M₁⊆M₂ und sind beide Jordan-messbar, so gilt |M₁| ≤ |M₂| — eine Teilmenge kann nie einen größeren Inhalt besitzen als die Menge, in der sie enthalten ist.

7.2 Ober- und Untersummen: das Riemann-Integral im Rⁿ

Analog zum eindimensionalen Riemann-Integral zerlegt man einen Quader Q⊆ℝⁿ in Teilquader und bildet Untersummen (Summe aus Infimum von f auf jedem Teilquader mal dessen Volumen) und Obersummen (analog mit Supremum). Eine Funktion heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Untersummen bei feiner werdender Zerlegung gegen denselben Wert konvergieren — dieser gemeinsame Grenzwert ist das Integral ∫_Q f dV.

Ein zentrales hinreichendes Kriterium: Jede stetige Funktion auf einem kompakten Jordan-messbaren Bereich ist Riemann-integrierbar. Dies deckt praktisch alle in Anwendungen auftretenden Funktionen ab.

7.3 Treppenfunktionen, gleichmäßige Stetigkeit und der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Eine Treppenfunktion (auf einem Quader Q) ist eine Funktion, die auf endlich vielen achsenparallelen Teilquadern jeweils konstant ist — die einfachste denkbare integrierbare Funktionsklasse, deren Integral einfach die Summe aus (Wert)·(Volumen des Teilquaders) über alle Teilstücke ist. Ober- und Untersummen (7.2) sind nichts anderes als Integrale spezieller Treppenfunktionen, die f von oben bzw. unten approximieren: Die Untersumme ist das Integral der größten Treppenfunktion, die überall ≤f ist, die Obersumme das Integral der kleinsten Treppenfunktion, die überall ≥f ist. Ein wichtiger Spezialfall ist die Indikatorfunktion 1_M(x), die auf einer Menge M den Wert 1 und außerhalb 0 annimmt — ihr Integral über einen umschließenden Quader ist genau der Jordan-Inhalt von M.

Warum ist nach 7.2 jede stetige Funktion auf einem kompakten Jordan-messbaren Bereich integrierbar? Der Schlüssel ist die gleichmäßige Stetigkeit: f heißt gleichmäßig stetig auf D, wenn zu jedem ε>0 ein δ>0 existiert, sodass für ALLE x,y∈D mit ‖x−y‖<δ stets |f(x)−f(y)|<ε gilt — anders als bei gewöhnlicher Stetigkeit darf δ hier nicht vom betrachteten Punkt abhängen, sondern muss gleichzeitig für den gesamten Definitionsbereich funktionieren. Der Satz von Heine garantiert: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge ist automatisch gleichmäßig stetig. Das ist der entscheidende Baustein für die Integrierbarkeit: Wird die Zerlegung so fein gewählt, dass jeder Teilquader kleiner als das zu ε passende δ ist, unterscheiden sich Supremum und Infimum von f auf jedem Teilquader um höchstens ε — und damit auch Ober- und Untersumme insgesamt nur noch um höchstens ε mal dem Gesamtvolumen.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung überträgt eine vertraute eindimensionale Aussage ins Mehrdimensionale: Ist f stetig auf einem kompakten, zusammenhängenden, Jordan-messbaren Bereich B mit positivem Jordan-Inhalt, so existiert ein Punkt ξ∈B mit ∫_B f dV = f(ξ)·|B| — der Integralwert lässt sich also als 'mittlerer Funktionswert' f(ξ) mal Volumen des Bereichs auffassen. Anschaulich muss es mindestens einen Punkt geben, an dem f exakt den Durchschnittswert über B annimmt.

7.4 Der Satz von Fubini

Der Satz von Fubini erlaubt es, ein mehrdimensionales Integral als iterierte Folge eindimensionaler Integrale zu berechnen: ∫∫_Q f(x,y) dx dy = ∫(∫f(x,y) dx) dy — man integriert zunächst über eine Variable bei fester anderer, und integriert das Ergebnis anschließend über die verbleibende Variable.

Diese Reduktion auf eindimensionale Integrale ist der praktisch wichtigste Rechenweg für mehrdimensionale Integrale: Ohne Fubini müsste man direkt mit Ober-/Untersummen im Mehrdimensionalen arbeiten, was in der Praxis kaum handhabbar ist.

8.1 Normalbereiche

Ein Normalbereich (bezüglich x) ist ein Bereich der Form {(x,y) | a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x)} — die obere und untere Grenze der y-Integration hängen dabei von x ab. Solche Bereiche lassen sich mit dem Satz von Fubini integrieren, indem zunächst über y (mit variablen Grenzen g(x) bis h(x)) und anschließend über x (mit festen Grenzen a bis b) integriert wird.

Normalbereiche erlauben es, das Integrieren über nicht-rechteckige Flächen (Dreiecke, Kreissegmente, allgemeine krummlinig berandete Flächen) auf die iterierte Integration nach Fubini zurückzuführen, ohne den Jordan-Inhalt jedes Mal von Grund auf neu bestimmen zu müssen.

8.2 Das Prinzip von Cavalieri

Das Prinzip von Cavalieri besagt: Stimmen die Querschnittsflächen zweier dreidimensionaler Körper bei jeder Höhe überein, so stimmen auch ihre Gesamtvolumina überein. Formal lässt sich das Volumen eines Körpers als Integral seiner Querschnittsflächen A(z) über die Höhe z berechnen: V = ∫A(z) dz.

Dieses Prinzip ist praktisch nützlich, wenn ein komplexer Körper durch bekannte, aber unterschiedlich geformte Querschnitte definiert ist — es reduziert ein 3-dimensionales Volumenproblem auf ein eindimensionales Integral über bereits bekannte Querschnittsflächen.

8.3 Der Transformationssatz

Der Transformationssatz erlaubt einen Koordinatenwechsel im Integral: Ist Φ: U→V eine bijektive, stetig differenzierbare Koordinatentransformation mit Jacobi-Determinante det(J_Φ), so gilt ∫_V f(y) dy = ∫_U f(Φ(x))·|det(J_Φ(x))| dx. Der Betrag der Jacobi-Determinante korrigiert dabei die durch die Transformation verursachte lokale Volumenverzerrung.

Die häufigste Anwendung sind Polarkoordinaten in ℝ² (x=r·cos(θ), y=r·sin(θ), mit |det(J)|=r), Zylinderkoordinaten in ℝ³ (Polarkoordinaten in der xy-Ebene plus unveränderte z-Achse) und Kugelkoordinaten in ℝ³: Bereiche mit Kreis-, Zylinder- oder Kugelsymmetrie lassen sich dadurch oft erheblich einfacher integrieren als in kartesischen Koordinaten.