Grundlagen der Analysis und linearen Algebra — Stoff der Abschlussklausur (2. Prüfungsteil)

2.1 K-Vektorräume und das Untervektorraumkriterium

Ein K-Vektorraum ist eine nichtleere Menge V zusammen mit einer Addition + : V×V→V und einer skalaren Multiplikation · : K×V→V, die eine Reihe vertrauter Rechenregeln erfüllen (Assoziativität und Kommutativität der Addition, Existenz eines Nullvektors und additiver Inverser, Distributivgesetze und Verträglichkeit der skalaren Multiplikation). Neben dem vertrauten K^n (Spaltenvektoren mit komponentenweiser Addition) sind auch die Menge aller Polynome vom Grad höchstens n, oder die Menge C[a,b] aller stetigen Funktionen auf einem Intervall [a,b], K-Vektorräume — mit Addition und skalarer Multiplikation von Funktionen bzw. Polynomen punktweise definiert.

Eine Teilmenge U⊂V eines K-Vektorraums heißt Untervektorraum (UVR), wenn U mit den von V geerbten Verknüpfungen selbst ein Vektorraum ist. Statt alle Vektorraumaxiome erneut nachzuweisen, genügt das Untervektorraumkriterium: U ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn (i) U nichtleer ist (äquivalent: der Nullvektor liegt in U), (ii) U abgeschlossen unter Addition ist (u1,u2∈U ⟹ u1+u2∈U), und (iii) U abgeschlossen unter skalarer Multiplikation ist (u∈U, λ∈K ⟹ λu∈U).

2.2 Lineare Unabhängigkeit, Erzeugendensysteme und Basis

Vektoren ⃗v1,...,⃗vk eines K-Vektorraums heißen linear unabhängig, wenn die einzige Lösung von λ1⃗v1+...+λk⃗vk=⃗0 die triviale Lösung λ1=...=λk=0 ist — äquivalent: keiner der Vektoren lässt sich als Linearkombination der übrigen schreiben. Sind sie nicht linear unabhängig, heißen sie linear abhängig. Die lineare Hülle span(M) einer Menge M⊂V ist die Menge aller (endlichen) Linearkombinationen von Vektoren aus M; sie ist stets ein Untervektorraum von V und der kleinste Untervektorraum, der M enthält. M heißt Erzeugendensystem von V, wenn span(M)=V gilt.

Eine Basis B eines K-Vektorraums V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V — äquivalent: jeder Vektor aus V lässt sich auf genau eine Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Jeder Vektorraum besitzt eine Basis (im Fall endlicher Erzeugung folgt dies bereits durch schrittweises Weglassen linear abhängiger Vektoren aus einem Erzeugendensystem bzw. durch Ergänzen einer linear unabhängigen Menge). Der Austauschsatz von Steinitz garantiert dabei, dass sich Basisvektoren durch Vektoren einer anderen linear unabhängigen Menge ersetzen lassen, ohne die Erzeugendeneigenschaft zu verlieren — eine Konsequenz daraus ist, dass alle Basen eines Vektorraums dieselbe Anzahl an Elementen haben.

2.3 Dimension und die Dimensionsformel für Untervektorräume

Die Dimension dim(V) eines K-Vektorraums V ist die (wohldefinierte) Anzahl der Elemente einer Basis von V. Für Untervektorräume U⊂V gilt stets dim(U)≤dim(V), mit Gleichheit genau dann, wenn U=V. Sind U1, U2 zwei Untervektorräume von V, ist sowohl der Durchschnitt U1∩U2 als auch die Summe U1+U2:={u1+u2 : u1∈U1, u2∈U2} wieder ein Untervektorraum von V (die Vereinigung U1∪U2 dagegen im Allgemeinen NICHT, außer wenn einer der beiden Räume im anderen enthalten ist).

Die Dimensionsformel verknüpft die Dimensionen von U1, U2, ihrer Summe und ihres Durchschnitts: dim(U1+U2) = dim(U1) + dim(U2) − dim(U1∩U2). Ist U1∩U2={⃗0} (man spricht dann von einer direkten Summe U1⊕U2), vereinfacht sich dies zu dim(U1⊕U2)=dim(U1)+dim(U2).

3.1 Skalarprodukte, Norm und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Ein Skalarprodukt s(·,·) auf einem reellen Vektorraum V ist eine Abbildung V×V→ℝ, die symmetrisch (s(x,y)=s(y,x)), linear im ersten Argument und positiv definit ist (s(x,x)>0 für x≠0). Das Standardbeispiel im ℝⁿ ist s(x,y)=Σxᵢyᵢ=xᵀy; ein weiteres wichtiges Beispiel ist s(f,g):=∫₀¹f(x)g(x)dx auf dem Vektorraum der stetigen Funktionen auf [0,1]. Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm (Skalarproduktnorm) über ‖x‖:=√(s(x,x)), mit der sich der euklidische Abstand ‖x−y‖ zwischen zwei Vektoren messen lässt.

Für jedes Skalarprodukt und die davon induzierte Norm gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |s(x,y)| ≤ ‖x‖·‖y‖, mit Gleichheit genau dann, wenn x und y linear abhängig sind. Aus ihr folgt die Dreiecksungleichung ‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖. Zwei Vektoren x,y heißen orthogonal, falls s(x,y)=0 gilt; für orthogonale Vektoren gilt der Satz des Pythagoras ‖x+y‖²=‖x‖²+‖y‖². Der Winkel zwischen x,y≠0 ist definiert über cos(∢(x,y)) := s(x,y)/(‖x‖·‖y‖) — dank Cauchy-Schwarz liegt dieser Ausdruck stets in [−1,1].

3.2 Orthogonalität und das Gram-Schmidt-Verfahren

Eine Menge A⊂V heißt Orthonormalsystem, wenn ihre Vektoren paarweise orthogonal und jeweils auf Länge 1 normiert sind; ist A zusätzlich ein Erzeugendensystem von V, heißt A Orthonormalbasis (ONB). Aus einer beliebigen Basis {b1,...,bn} lässt sich mit dem Orthogonalisierungsverfahren von E. Schmidt (Gram-Schmidt-Verfahren) eine Orthonormalbasis konstruieren: u1:=b1/‖b1‖, und für j≥2 wird von bj zunächst die Projektion auf alle bereits konstruierten u1,...,u_{j−1} abgezogen, bevor das Ergebnis normiert wird.

Für einen Untervektorraum U⊂V (mit Skalarprodukt s) ist das orthogonale Komplement U^⊥:={x∈V: s(x,u)=0 für alle u∈U} wieder ein Untervektorraum, und es gilt (bei endlicher Dimension) die orthogonale Zerlegung V=U⊕U^⊥ sowie (U^⊥)^⊥=U.

3.3 Orthogonale Projektion und Abstandsaufgaben im Rⁿ

Ist U⊂V ein Untervektorraum mit Orthonormalbasis {u1,...,uk}, so ist die orthogonale Projektion P_U(x) := Σ_j s(uj,x)·uj derjenige Punkt in U, der x am nächsten liegt (Approximationssatz): ‖x−P_U(x)‖ ≤ ‖x−u‖ für alle u∈U, mit Gleichheit nur für u=P_U(x). Der Abstand von x zu U ist damit d(x,U):=‖x−P_U(x)‖.

Eine Hyperebene H im ℝⁿ (ein (n−1)-dimensionaler Teilraum bzw. eine affine Verschiebung davon) lässt sich durch einen Normalenvektor ⃗n und eine Konstante c in Hessescher Normalform beschreiben: H={⃗x∈ℝⁿ: ⃗n·⃗x=c}. Der Abstand eines Punktes ⃗p zu H berechnet sich dann besonders einfach als d(⃗p,H) = |⃗n·⃗p−c| / ‖⃗n‖.

Allgemeiner lässt sich auch der Abstand zwischen zwei affinen Teilräumen (z. B. zwei Geraden, die sich nicht schneiden) bestimmen: Man wählt jeweils einen Punkt aus beiden Teilräumen, bildet den Verbindungsvektor und projiziert diesen orthogonal auf das Komplement der Summe der beiden Richtungsräume — die Länge dieser Projektion ist der gesuchte Abstand.

4.1 Häufungspunkte und Funktionsgrenzwerte

Ein Punkt x0∈ℝ̄=ℝ∪{−∞,∞} heißt Häufungspunkt einer Menge M⊂ℝ, wenn es eine Folge (xn) in M mit xn≠x0 für alle n gibt, die gegen x0 konvergiert — anschaulich: x0 lässt sich beliebig genau (aber nicht exakt) durch Punkte aus M annähern. Ist x0 ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs D einer Funktion f: D→ℝ, sagt man, f habe in x0 den Grenzwert c∈ℝ, falls für JEDE Folge (xn) in D\{x0} mit xn→x0 auch f(xn)→c gilt.

Neben dem beidseitigen Grenzwert gibt es den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert (Annäherung nur von links bzw. nur von rechts, notiert lim_{x↑x0} bzw. lim_{x↓x0}), sowie uneigentliche Grenzwerte (der Funktionswert wächst über alle Grenzen, lim f(x)=±∞). Ein beidseitiger Grenzwert existiert genau dann, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und übereinstimmen. Für Summen, Produkte und Quotienten (mit Grenzwert des Nenners ≠0) von Funktionen mit existierenden Grenzwerten gelten dieselben Rechenregeln wie für Folgengrenzwerte.

4.2 Stetigkeit und die ε-δ-Charakterisierung

Eine Funktion f: D→ℝ heißt stetig in x0∈D, wenn entweder x0 kein Häufungspunkt von D ist (dann ist f dort automatisch stetig), oder x0 Häufungspunkt von D ist und lim_{x→x0} f(x) = f(x0) gilt. Äquivalent zur Folgencharakterisierung ist die ε-δ-Charakterisierung: f ist stetig in x0, wenn es zu jedem ε>0 ein δ>0 gibt, sodass für alle x∈D mit |x−x0|<δ auch |f(x)−f(x0)|<ε gilt — anschaulich: kleine Änderungen des Arguments erzeugen beliebig kleine (kontrollierbare) Änderungen des Funktionswerts.

Summen, Produkte, Quotienten (mit Nenner ≠0) und Verkettungen stetiger Funktionen sind wieder stetig. Häufig taucht die Aufgabe auf, eine an einer Stelle x0 zunächst nur durch einen Grenzwert definierbare Funktion so zu ergänzen, dass sie dort stetig wird (stetige Fortsetzung) — das gelingt genau dann, wenn der entsprechende Grenzwert existiert.

4.3 Zwischenwertsatz, Extrema stetiger Funktionen und Umkehrfunktionen

Der Zwischenwertsatz besagt: Ist f:[a,b]→ℝ stetig und liegt ein Wert c zwischen f(a) und f(b), so gibt es ein ξ∈[a,b] mit f(ξ)=c — insbesondere hat f eine Nullstelle in [a,b], falls f(a) und f(b) unterschiedliches Vorzeichen haben. Damit lassen sich Existenzaussagen über Lösungen von Gleichungen treffen, ohne die Lösung explizit angeben zu können. Die Min-Max-Eigenschaft (Satz vom Minimum und Maximum) ergänzt dies: Jede auf einem abgeschlossenen, beschränkten Intervall [a,b] stetige Funktion ist dort beschränkt und nimmt ihr Maximum sowie ihr Minimum tatsächlich an.

Ist f:[a,b]→ℝ stetig und streng monoton, so ist f injektiv, bildet [a,b] auf ein Intervall ab, und die Umkehrfunktion f⁻¹ ist auf diesem Bildintervall ebenfalls stetig und streng monoton (im gleichen Sinn wie f). Dieses Prinzip liefert z. B. die Stetigkeit der Umkehrfunktionen von Exponentialfunktion (Logarithmus) und der Winkelfunktionen auf geeigneten Intervallen (arcsin, arccos, arctan).

5.1 Die allgemeine Exponential- und Logarithmusfunktion

Für eine Basis a>0 mit a≠1 definiert man die allgemeine Exponentialfunktion durch a^x := e^(x·ln a) für x∈ℝ. Sie ist stetig, streng monoton (wachsend für a>1, fallend für 0<a<1) und bildet ℝ bijektiv auf (0,∞) ab. Die Umkehrfunktion heißt allgemeiner Logarithmus zur Basis a, log_a: (0,∞)→ℝ, und es gilt log_a(x) = ln(x)/ln(a) — insbesondere lässt sich jeder Logarithmus auf den natürlichen Logarithmus zurückführen.

Aus dieser Definition folgen die vertrauten Rechenregeln: a^(x+y)=a^x·a^y, (a^x)^y=a^(xy), sowie für den Logarithmus log_a(xy)=log_a(x)+log_a(y) und log_a(x^r)=r·log_a(x). Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus, log10) wird in Anwendungen häufig verwendet, etwa zur Darstellung von Größenordnungen.

5.2 Wachstumsvergleich zwischen Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen

Für das Verhalten für x→∞ gilt eine feste Rangordnung im Wachstum: Jede Exponentialfunktion a^x mit a>1 wächst schneller als jede Potenzfunktion x^r (r>0 fest), das heißt lim_{x→∞} x^r/a^x = 0. Umgekehrt wächst jede Potenzfunktion x^r (r>0) schneller als jede Logarithmusfunktion: lim_{x→∞} log_a(x)/x^r = 0. Kurz: Logarithmus ≪ Potenz ≪ Exponentialfunktion im Wachstum für x→∞.

Diese Vergleiche lassen sich mit der Regel von de l'Hospital (Kapitel 9) beweisen, indem man Zähler und Nenner wiederholt ableitet, bis sich der unbestimmte Ausdruck auflöst. Sie sind besonders nützlich, um Grenzwerte von Quotienten aus Potenz-, Exponential- und Logarithmustermen ohne aufwendige Rechnung abzuschätzen.

6.1 Lineare Abbildungen, Kern und Bild

Eine Abbildung φ: V→W zwischen zwei K-Vektorräumen heißt linear, wenn φ(⃗x+⃗y)=φ(⃗x)+φ(⃗y) und φ(λ⃗x)=λφ(⃗x) für alle ⃗x,⃗y∈V, λ∈K gilt. Typische Beispiele im ℝ² sind die Spiegelung an einer Achse, die Projektion auf eine Achse, und die Drehung um einen festen Winkel — jede (m×n)-Matrix A definiert über φ(⃗x):=A⃗x eine lineare Abbildung von K^n nach K^m, und tatsächlich lässt sich jede lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen (bezüglich fest gewählter Basen) auf diese Weise als Matrix darstellen.

Der Kern Kern(φ):={⃗x∈V : φ(⃗x)=⃗0} ist ein Untervektorraum von V, das Bild Bild(φ):={φ(⃗x): ⃗x∈V} ein Untervektorraum von W. Der Rang Rang(φ):=dim(Bild(φ)) misst die Dimension des tatsächlich erreichten Teils von W. Es gilt die Dimensionsformel dim(V)=Rang(φ)+dim(Kern(φ)), und φ ist genau dann injektiv, wenn Kern(φ)={⃗0} gilt.

6.2 Rang einer Matrix über die Zeilenstufenform

Der Rang einer (m×n)-Matrix A lässt sich praktisch über den Gauß-Algorithmus (Kapitel 1.2) bestimmen: Man bringt A durch äquivalente Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform; Rang(A) ist dann genau die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen (äquivalent: die Anzahl der Pivotelemente bzw. führenden Einträge). Diese Größe heißt auch Zeilenrang RZ(A). Führt man dieselbe Prozedur mit den Spalten statt den Zeilen durch, erhält man den Spaltenrang RS(A) — ein zentrales Resultat der linearen Algebra besagt, dass für jede Matrix RZ(A)=RS(A) gilt, weshalb man schlicht von 'dem' Rang Rang(A) spricht.

Der so berechnete Rang stimmt mit dem in 6.1 definierten Rang(φ)=dim(Bild(φ)) der zugehörigen linearen Abbildung φ(⃗x)=A⃗x überein — die Anzahl der Pivotspalten nach dem Gauß-Algorithmus entspricht also genau der Dimension des Bildes von φ.

6.3 Matrixdarstellung, Matrizenmultiplikation und Isomorphismen

Sind φ: U→V und ψ: V→W lineare Abbildungen mit Darstellungsmatrizen A (bzgl. fester Basen von U,V) bzw. B (bzgl. der Basen von V,W), so hat die Verkettung ψ∘φ: U→W die Darstellungsmatrix B·A — das Matrixprodukt entspricht also genau der Hintereinanderausführung linearer Abbildungen. Für eine (p×n)-Matrix B und eine (n×m)-Matrix A ist das Produkt BA eine (p×m)-Matrix mit Einträgen (BA)_{ik} = Σ_j b_{ij}a_{jk} — Zeile i von B mal Spalte k von A.

Eine lineare Abbildung φ: V→W heißt Isomorphismus, wenn sie bijektiv ist; in diesem Fall schreibt man V≅W (V und W sind isomorph). Endlichdimensionale K-Vektorräume sind genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben — insbesondere ist jeder n-dimensionale K-Vektorraum isomorph zu K^n. So ist etwa der Vektorraum M_{p×n}(K) aller (p×n)-Matrizen isomorph zu K^{pn}, da man eine Matrix einfach spaltenweise zu einem langen Vektor 'auseinanderziehen' kann.

6.4 Reguläre Matrizen und die Inverse

Eine quadratische (n×n)-Matrix A heißt regulär (invertierbar), wenn es eine Matrix A⁻¹ mit A·A⁻¹=A⁻¹·A=E (Einheitsmatrix) gibt — äquivalent: die zugehörige lineare Abbildung ist bijektiv, äquivalent: Rang(A)=n, äquivalent: det(A)≠0. Die Inverse berechnet man praktisch, indem man die Matrix (A|E) durch den Gauß-Algorithmus auf die Form (E|A⁻¹) bringt — dieselben Zeilenumformungen, die A in die Einheitsmatrix überführen, überführen E gleichzeitig in A⁻¹.

Zusätzlich definiert man die transponierte Matrix Aᵀ, die aus A durch Vertauschen von Zeilen und Spalten entsteht: (Aᵀ)_{ij}=a_{ji}. Eine quadratische Matrix heißt symmetrisch, wenn A=Aᵀ gilt.

7.1 Die Ableitung und Differenzierbarkeit

Für eine Funktion f: D→ℝ und einen Punkt x0∈D, der Häufungspunkt von D ist, heißt f in x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten f'(x0) := lim_{x→x0} (f(x)−f(x0))/(x−x0) existiert. Geometrisch beschreibt der Differenzenquotient die Steigung der Sekante durch (x0,f(x0)) und (x,f(x)); im Grenzübergang x→x0 wird daraus die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt x0.

Analog zu den einseitigen Funktionsgrenzwerten definiert man einseitige Ableitungen (links- bzw. rechtsseitig), indem man den Grenzübergang nur von einer Seite zulässt; f ist genau dann differenzierbar in x0, wenn beide einseitigen Ableitungen existieren und übereinstimmen. Jede in x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig — die Umkehrung gilt jedoch nicht (die Betragsfunktion ist in 0 stetig, aber nicht differenzierbar, da linke und rechte Ableitung dort −1 bzw. 1 sind).

7.2 Ableitungsregeln: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Sind f, g in x0 differenzierbar, so auch f+g, f·g und (bei g(x0)≠0) f/g, mit (f+g)'=f'+g', (Produktregel) (fg)'=f'g+fg', und (Quotientenregel) (f/g)'=(f'g−fg')/g². Ist zusätzlich g in x0 und f in g(x0) differenzierbar, so ist auch die Verkettung f∘g in x0 differenzierbar (Kettenregel): (f∘g)'(x0) = f'(g(x0))·g'(x0) — 'äußere Ableitung mal innere Ableitung'.

Diese Regeln zusammen mit den Ableitungen der elementaren Funktionen (Potenzfunktion: (x^n)'=n·x^(n−1); Exponentialfunktion: (e^x)'=e^x; Sinus/Kosinus: (sin x)'=cos x, (cos x)'=−sin x) erlauben es, die Ableitung praktisch jeder aus elementaren Funktionen zusammengesetzten Funktion zu berechnen.

7.3 Ableitung der Umkehrfunktion und elementare Ableitungen

Ist f in x0 differenzierbar mit f'(x0)≠0 und besitzt f eine Umkehrfunktion f⁻¹, die in y0:=f(x0) stetig ist, so ist f⁻¹ in y0 differenzierbar mit (f⁻¹)'(y0) = 1/f'(x0) = 1/f'(f⁻¹(y0)). Damit lassen sich die Ableitungen von Umkehrfunktionen elementarer Funktionen bestimmen: Aus (e^x)'=e^x folgt (ln x)'=1/x; aus (tan x)'=1/cos²x folgt (arctan x)'=1/(1+x²).

Auf demselben Weg ergeben sich die Ableitungen der übrigen Arkusfunktionen: Aus (sin x)'=cos x folgt für die Umkehrfunktion arcsin (arcsin y)' = 1/cos(arcsin y) = 1/√(1−y²) (da cos(arcsin y)=√(1−sin²(arcsin y))=√(1−y²) für y∈(−1,1)); analog liefert (cos x)'=−sin x die Ableitung (arccos y)' = −1/√(1−y²).

Für die allgemeine Potenzfunktion x^a (a∈ℝ, x>0), definiert über x^a:=e^(a·ln x), liefert die Kettenregel (x^a)' = e^(a·ln x)·a/x = a·x^a/x = a·x^(a−1) — dieselbe Formel wie für ganzzahlige Exponenten gilt also auch für beliebige reelle Exponenten.

8.1 Lokale und globale Extrema

Eine Funktion f: D→ℝ hat in x0∈D eine lokale Maximalstelle, wenn es ein δ>0 gibt, sodass f(x)≤f(x0) für alle x∈D mit |x−x0|<δ gilt (analog lokale Minimalstelle mit ≥); gilt die Ungleichung sogar für ganz D, spricht man von einer globalen Extremalstelle. Ist x0 eine lokale Extremalstelle im Inneren von D und ist f dort differenzierbar, so muss notwendigerweise f'(x0)=0 gelten — diese notwendige Bedingung liefert die 'extremwertverdächtigen Punkte' (kritische Punkte), an denen lokale Extrema überhaupt nur auftreten können.

Die Umkehrung gilt nicht: f'(x0)=0 bedeutet nicht automatisch, dass x0 eine lokale Extremstelle ist (Gegenbeispiel: f(x)=x³ mit f'(0)=0, aber x0=0 ist weder Maximal- noch Minimalstelle, sondern ein Sattelpunkt/Wendepunkt). Ein hinreichendes Kriterium liefert die zweite Ableitung: Ist f'(x0)=0 und f''(x0)>0, liegt eine strenge lokale Minimalstelle vor; ist f''(x0)<0, eine strenge lokale Maximalstelle.

8.2 Der Satz von Rolle und der Mittelwertsatz

Der Satz von Rolle besagt: Ist f auf [a,b] stetig, auf (a,b) differenzierbar und gilt f(a)=f(b), so existiert ein ξ∈(a,b) mit f'(ξ)=0. Er folgt direkt aus der Min-Max-Eigenschaft stetiger Funktionen und der notwendigen Bedingung für lokale Extrema. Der (erste) Mittelwertsatz der Differentialrechnung verallgemeinert dies: Ist f auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar, so existiert ein ξ∈(a,b) mit f'(ξ) = (f(b)−f(a))/(b−a) — die Sekantensteigung zwischen den Endpunkten wird an mindestens einer Stelle als Tangentensteigung realisiert.

Aus dem Mittelwertsatz folgen unmittelbar die Monotoniekriterien: Gilt f'(x)≥0 (bzw. >0, ≤0, <0) für alle x∈(a,b), so ist f auf [a,b] monoton wachsend (streng wachsend, fallend, streng fallend). Der zweite Mittelwertsatz verallgemeinert den ersten auf zwei Funktionen gleichzeitig und ist die Grundlage für den Beweis der Regel von de l'Hospital (Kapitel 9).

8.3 Konvexität, Wendepunkte und Kurvendiskussion

Eine zweimal differenzierbare Funktion f heißt konvex auf einem Intervall I, wenn f''(x)≥0 für alle x∈I gilt (der Graph liegt dann stets oberhalb jeder Tangente); sie heißt konkav, wenn f''(x)≤0 gilt. Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der f von konvex zu konkav wechselt (oder umgekehrt); notwendig dafür ist f''(x0)=0, hinreichend ist zusätzlich ein Vorzeichenwechsel von f'' bei x0 (äquivalent: f'''(x0)≠0, falls f dreimal differenzierbar ist).

Eine vollständige Kurvendiskussion einer Funktion umfasst typischerweise: Definitionsbereich und Symmetrie, Nullstellen, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs (Grenzwerte), Monotonie und lokale Extrema (über f'), sowie Konvexität und Wendepunkte (über f'').

8.4 Der Zwischenwertsatz der Ableitung (Darboux-Eigenschaft)

Auch wenn die Ableitung f' einer differenzierbaren Funktion selbst nicht stetig sein muss, besitzt sie dennoch eine Zwischenwert-Eigenschaft: Ist f auf [a,b] differenzierbar, so nimmt f' jeden Wert zwischen f'(a) und f'(b) an — es gibt also zu jedem c zwischen f'(a) und f'(b) ein ξ∈[a,b] mit f'(ξ)=c. Dieses Resultat (nach J. G. Darboux auch Darboux-Eigenschaft genannt) ist bemerkenswert, weil es nicht aus dem gewöhnlichen Zwischenwertsatz (Kapitel 4.3) folgt, der Stetigkeit von f' voraussetzen würde.

Eine wichtige Konsequenz: Besitzt f' auf [a,b] keine Nullstelle, so hat f' insgesamt ein konstantes Vorzeichen auf [a,b] (sonst müsste f' nach der Darboux-Eigenschaft auch den Wert 0 annehmen) — damit ist f auf [a,b] streng monoton.

9.1 Die Regel von de l'Hospital

Streben sowohl f(x) als auch g(x) für x→x0 gegen 0 (Fall '0/0') oder beide gegen ±∞ (Fall '∞/∞'), und existiert der Grenzwert lim_{x→x0} f'(x)/g'(x), so existiert auch lim_{x→x0} f(x)/g(x) und beide Grenzwerte stimmen überein: lim_{x→x0} f(x)/g(x) = lim_{x→x0} f'(x)/g'(x). Die Regel gilt analog für einseitige Grenzwerte und für x0=±∞, und darf bei Bedarf mehrfach hintereinander angewendet werden, solange der jeweils neue Quotient wieder die Form 0/0 oder ∞/∞ hat.

Andere unbestimmte Formen (0·∞, ∞−∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰) lassen sich durch algebraische Umformung (z. B. Erweitern auf einen Bruch, oder Logarithmieren bei Potenzausdrücken) auf die Form 0/0 oder ∞/∞ zurückführen und dann mit de l'Hospital behandeln.

9.2 Der Satz von Taylor und Taylorpolynome

Ist f in x0 (n+1)-mal differenzierbar, approximiert das n-te Taylorpolynom T_n(x;x0) := Σ_{k=0}^n f^(k)(x0)/k! · (x−x0)^k die Funktion f in der Nähe von x0. Der Satz von Taylor mit Lagrange-Restglied quantifiziert den Approximationsfehler: f(x) = T_n(x;x0) + R_n(x), wobei R_n(x) = f^(n+1)(ξ)/(n+1)! · (x−x0)^(n+1) für ein (von x abhängiges) ξ zwischen x0 und x — für n=0 ist dies genau der Mittelwertsatz.

Konvergiert die Folge der Restglieder für n→∞ gegen 0, stimmt die Taylorreihe Σ_{k=0}^∞ f^(k)(x0)/k! · (x−x0)^k in einer Umgebung von x0 mit f überein. Dies gilt etwa für die Exponentialfunktion (für alle x∈ℝ) sowie für Sinus und Kosinus.

10.1 Das Riemann-Integral: Ober- und Untersummen

Für eine beschränkte Funktion f:[a,b]→ℝ und eine Zerlegung Z: a=x0<x1<...<xn=b bildet man auf jedem Teilintervall [x_{i-1},x_i] das Infimum m_i und Supremum M_i von f; die Untersumme U(f;Z):=Σm_i(x_i−x_{i-1}) und die Obersumme O(f;Z):=Σ M_i(x_i−x_{i-1}) approximieren die Fläche unter dem Graphen von unten bzw. oben, wobei stets U(f;Z)≤O(f;Z) gilt. Verfeinert man eine Zerlegung (fügt weitere Teilpunkte hinzu), kann die Untersumme nur wachsen und die Obersumme nur fallen.

Das obere Integral J̄(f):=inf_Z O(f;Z) und untere Integral J_(f):=sup_Z U(f;Z) existieren für jede beschränkte Funktion; f heißt Riemann-integrierbar über [a,b], wenn J̄(f)=J_(f) gilt, und man schreibt dann ∫_a^b f(x)dx für diesen gemeinsamen Wert. Nach dem Riemannschen Integrabilitätskriterium ist f genau dann integrierbar, wenn es zu jedem ε>0 eine Zerlegung Z mit O(f;Z)−U(f;Z)<ε gibt. Stetige Funktionen und monotone Funktionen auf [a,b] sind stets Riemann-integrierbar.

10.2 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Eine Funktion F heißt Stammfunktion von f auf [a,b], wenn F'=f gilt; zwei Stammfunktionen derselben Funktion unterscheiden sich stets nur um eine additive Konstante. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung stellt die zentrale Verbindung zwischen Ableitung und Integral her: Ist f:[a,b]→ℝ stetig, dann ist die Integralfunktion F(x):=∫_a^x f(t)dt differenzierbar mit F'(x)=f(x) (f besitzt also stets eine Stammfunktion), und für jede beliebige Stammfunktion F von f gilt die Auswertungsformel ∫_a^b f(x)dx = F(b)−F(a) =: [F(x)]_a^b.

Diese Formel verwandelt die (mühsame) Berechnung eines Integrals über Ober-/Untersummen in eine (meist einfache) Suche nach einer Stammfunktion. Wichtige Stammfunktionen: ∫x^r dx = x^(r+1)/(r+1)+c (r≠−1), ∫1/x dx = ln|x|+c, ∫e^x dx = e^x+c, ∫cos(x)dx=sin(x)+c, ∫sin(x)dx=−cos(x)+c.

10.3 Integrationstechniken und uneigentliche Integrale

Die partielle Integration ∫_a^b f'(x)g(x)dx = [f(x)g(x)]_a^b − ∫_a^b f(x)g'(x)dx ergibt sich aus der Produktregel und eignet sich besonders für Produkte, bei denen ein Faktor durch Ableiten einfacher wird (z. B. Polynom mal Exponentialfunktion). Die Substitutionsregel ∫_a^b f(φ(x))·φ'(x)dx = ∫_{φ(a)}^{φ(b)} f(u)du (mit u=φ(x)) ergibt sich analog aus der Kettenregel und eignet sich, wenn der Integrand die Ableitung einer inneren Funktion 'passend' enthält.

Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn entweder das Integrationsintervall unbeschränkt ist (z. B. ∫_a^∞ f(x)dx := lim_{t→∞} ∫_a^t f(x)dx) oder der Integrand am Rand unbeschränkt ist. Ein uneigentliches Integral heißt konvergent, wenn der entsprechende Grenzwert existiert (und endlich ist), andernfalls divergent.

Majoranten- und Minorantenkriterium erlauben Konvergenzaussagen durch Vergleich mit einer bekannten Funktion, ohne das Integral explizit zu berechnen: Gilt 0≤f(x)≤g(x) für alle x≥a und konvergiert ∫_a^∞ g(x)dx (Majorante), so konvergiert auch ∫_a^∞ f(x)dx. Gilt umgekehrt 0≤g(x)≤f(x) und divergiert ∫_a^∞ g(x)dx (Minorante), so divergiert auch ∫_a^∞ f(x)dx. Ein Standardbeispiel für ein über ein solches Kriterium untersuchtes uneigentliches Integral ist die Gammafunktion Γ(x):=∫_0^∞ t^(x−1)e^(−t)dt, definiert über ein für x>0 konvergentes uneigentliches Integral.

10.4 Der Mittelwertsatz der Integralrechnung

Ist f:[a,b]→ℝ integrierbar und gilt m≤f(x)≤M für alle x∈[a,b], so existiert ein µ∈[m,M] mit ∫_a^b f(x)dx = µ·(b−a) — der Wert des Integrals lässt sich also stets als 'mittlere Höhe' µ mal Intervalllänge schreiben. Ist f zusätzlich stetig, nimmt f nach dem Satz vom Minimum und Maximum (Kapitel 4.3) den Wert µ tatsächlich an einer Stelle ξ∈[a,b] an: ∫_a^b f(x)dx = f(ξ)·(b−a).

Dieser Satz ist das Integral-Analogon zum Mittelwertsatz der Differentialrechnung (Kapitel 8.2): Dort wird die Sekantensteigung an einer Zwischenstelle als Tangentensteigung realisiert, hier wird der Durchschnittswert einer Funktion an einer Zwischenstelle als tatsächlicher Funktionswert realisiert.